旋转曲面 · Learning Notes

定义

一条平面曲线 $C$ 绕它所在平面内的一条定直线 $l$ 旋转一周，所生成的曲面称为旋转曲面， $l$ 称为旋转轴， $C$ 称为母线。

设母线在 $yOz$ 坐标面内，方程为

f(y,z)=0 .

曲面上任一点 $M(x,y,z)$ 由母线上某点 $M_1(0,y_1,z)$ 绕 $z$ 轴旋转得到，两点到 $z$ 轴的距离相等，即

\sqrt{x^2+y^2}=\vert y_1\vert .

因此把方程中的 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$ 、 $z$ 保持不变，就得到绕 $z$ 轴旋转的曲面方程：

f\bigl(\pm\sqrt{x^2+y^2},\,z\bigr)=0 .

绕 $y$ 轴旋转时， $y$ 不变，把 $z$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$ ：

f\bigl(y,\,\pm\sqrt{x^2+z^2}\bigr)=0 .

母线在别的坐标面内时，先把方程写成含旋转轴坐标的形式，再替换与旋转轴垂直的那个坐标。

母线 $z=y^2$ 绕 $z$ 轴旋转

母线在 $yOz$ 面内，方程写成 $z-y^2=0$ 。绕 $z$ 轴旋转时 $z$ 不变，把 $y$ 换成 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$ ：

z-(x^2+y^2)=0,

即

z=x^2+y^2 .

这是旋转抛物面。用 $z=z_0\ge 0$ 去截，得到半径 $\sqrt{z_0}$ 的圆，半径随 $z_0$ 增大而增大，所以曲面越往上越宽。

改变母线位置和旋转角，查看曲面上的点。

正在准备演示…

题集