向量的混合积 · Learning Notes

定义

设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 、 $\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ 、 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,c_3)$ ， $\theta$ 是非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角。

三个向量的混合积是一个数：

[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}.

坐标公式是三阶行列式：

[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.

它的绝对值等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 为棱的平行六面体的体积。 $[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]>0$ 当且仅当 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 依次构成右手系；混合积等于 $0$ 时三个向量共面。以这三个向量为棱的四面体体积为 $\frac16|[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]|$ 。

性质

[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}] =[\mathbf{b}\ \mathbf{c}\ \mathbf{a}] =[\mathbf{c}\ \mathbf{a}\ \mathbf{b}], \qquad [\mathbf{b}\ \mathbf{a}\ \mathbf{c}]=-[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}].

轮换三个向量不改变混合积，交换任意两个向量则改变符号；这个符号差异来自行列式交换两行变号。又因为

(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}),

叉积的位置也可以轮换。由此得到共面判据：

\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\ \text{共面}\iff[\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}]=0.

例子

混合积、体积与共面

$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 的混合积是单位矩阵的行列式，等于 $1$ ，对应体积为 $1$ 的单位正方体。

再取 $\mathbf{a}=(1,1,0)$ ， $\mathbf{b}=(1,0,1)$ ， $\mathbf{c}=(2,1,1)$ ，计算行列式

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot(0\cdot1-1\cdot1)-1\cdot(1\cdot1-1\cdot2)+0 =-1-(-1)=0,

所以三个向量共面。事实上 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，以它们为棱的平行六面体已经压扁，体积为零。

探索

混合积如何表示体积和方向？

改变第三个向量的高度，比较有向体积与体积。

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题集

练习

向量 $\mathbf{a}=(1,1,0)$ ， $\mathbf{b}=(1,0,1)$ ， $\mathbf{c}=(2,1,1)$ 是否共面？
选择答案
A
共面
B
不共面
参考解答
三个向量组成的行列式为零，所以共面；这里恰好有 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 。
以 $\mathbf{a}=(1,1,0)$ ， $\mathbf{b}=(0,1,1)$ ， $\mathbf{c}=(1,0,1)$ 为棱的平行六面体体积是。
参考解答
混合积的行列式为 $2$ ，体积取其绝对值，等于 $2$ 。