柯西中值定理

若 $f$ 与 $g$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. 对任意 $x\in(a,b)$，$g'(x)\ne0$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

把 $x$ 看作参数，柯西中值定理就是参数方程 $X=g(x)$、$Y=f(x)$ 所表示的曲线上的中值定理：曲线上至少存在一点，其切线斜率等于端点连线的斜率。

由条件3与罗尔定理，$g(b)\ne g(a)$：否则 $g$ 在两端取值相等，罗尔定理将给出某个内点处 $g'=0$。构造辅助函数

$F$ 满足罗尔定理的全部条件，且 $F(a)=F(b)=0$。于是存在 $\xi\in(a,b)$ 使

由 $g'(\xi)\ne0$，把上式整理为