罗尔定理

若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导；
3. $f(a)=f(b)$，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

几何上，一段连续光滑、两端等高的曲线弧上，至少有一点的切线是水平的。

$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，所以取得最大值 $M$ 与最小值 $m$。

若 $M=m$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上为常数，$f'\equiv0$，任取 $\xi\in(a,b)$ 都满足 $f'(\xi)=0$。

若 $M>m$，由 $f(a)=f(b)$，最大值与最小值中至少有一个在开区间 $(a,b)$ 内的某点 $c$ 取得；否则最大值与最小值都在端点取得，而两端函数值相等，将推出 $M=m$。函数在 $c$ 处取得极值，又 $c\in(a,b)$ 且 $f$ 在 $c$ 处可导，由费马引理得 $f'(c)=0$。