费马引理

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若该邻域内恒有 $f(x)\le f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处取得极大值；若恒有 $f(x)\ge f(x_0)$，则称取得极小值，两者统称极值。

设 $f$ 在 $x_0$ 处取得极值。若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则

几何上，在曲线光滑的前提下，极值点处的切线是水平的。

设 $f$ 在 $x_0$ 处取得极大值，且在 $x_0$ 处可导。当 $h>0$ 且 $|h|$ 充分小时，$f(x_0+h)\le f(x_0)$，分子非正、分母为正，所以

令 $h\to0^+$，得右导数 $f'_+(x_0)\le0$。当 $h<0$ 且 $|h|$ 充分小时，仍有 $f(x_0+h)\le f(x_0)$，此时分子非正、分母为负，商非负：

令 $h\to0^-$，得左导数 $f'_-(x_0)\ge0$。可导保证左右导数都存在且相等，于是 $f'(x_0)=0$。极小值的情形把两个不等号的方向对调，结论相同。