反函数的导数

设 $f:I\to J$ 在区间 $I$ 上连续且严格单调，$J=f(I)$，其反函数记为 $x=\varphi(y)$。在对应的内点 $y_0=f(x_0)$ 处，若极限

存在且有限，就称反函数在 $y_0$ 处可导。这里 $h$ 应使 $y_0+h\in J$，原函数和反函数的自变量分别为 $x$ 与 $y$，不能把对应点混为同一个数。

设函数 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上严格单调、可导，且 $f'(x)\ne 0$。则它的反函数 $x=\varphi(y)$ 在对应点可导，且

也就是说，反函数在 $y$ 处的导数，等于原函数在对应点 $x=\varphi(y)$ 处导数的倒数。

几何上，原函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称。若原函数在一点切线的斜率为 $k\ne 0$，反函数在对称点切线的斜率就是 $1/k$；原函数切线水平（$k=0$）时，对应反函数没有有限导数。

取 $y_0=f(x_0)$。由于 $f$ 连续且严格单调，反函数连续；令 $\Delta x=\varphi(y_0+\Delta y)-\varphi(y_0)$，则 $\Delta y\to0$ 时 $\Delta x\to0$，且 $\Delta y\ne0$ 时 $\Delta x\ne0$。于是

分母趋于非零的 $f'(x_0)$，所以差商极限存在，且

这个差商论证同时说明反函数可导并得到公式，无须预先假设反函数已经可导。