微分与线性近似

设函数 $y=f(x)$ 在区间内有定义，$x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 都在该区间内。若函数的增量

可以写成

其中 $A$ 是不依赖于 $\Delta x$ 的常数，则称 $f$ 在点 $x_0$ 处可微，并把线性部分

称为 $f$ 在 $x_0$ 处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分。

这里 $o(\Delta x)$ 表示比 $\Delta x$ 高阶的无穷小，即 $\Delta y$ 与 $A\Delta x$ 之差趋于 $0$ 的速度比 $\Delta x$ 更快。所以 $\mathrm{d}y$ 是 $\Delta y$ 的线性主部：$|\Delta x|$ 足够小时，$\Delta y\approx\mathrm{d}y$。

规定自变量的微分就是它的增量，

由下文可微与可导的充要条件，可微时 $A=f'(x_0)$，于是微分通常写成

一元函数 $f$ 在点 $x_0$ 处可微的充要条件是 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并且此时

因此求微分归结为求导数再乘以 $\mathrm{d}x$。下面讨论一元函数；多元函数中偏导数存在与可微是两件不同的事。

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线为

当自变量从 $x_0$ 变到 $x_0+\Delta x$ 时，$\Delta y$ 是曲线上纵坐标的增量，$\mathrm{d}y=f'(x_0)\Delta x$ 是同一切线上纵坐标的增量。两者之差 $o(\Delta x)$ 就是曲线偏离切线的部分。

所以 $\Delta x$ 很小时可以用切线段代替曲线段，即以直代曲：

微分法则与导数法则一致。设 $u$、$v$ 可微，则

以乘积为例，由 $\mathrm{d}(uv)=(uv)'\mathrm{d}x$ 得

其余法则可以同样验证。更完整的求导公式见基本求导公式与四则运算法则；复合函数的微分要用链式法则。

当 $|\Delta x|$ 很小时，用 $\mathrm{d}y$ 代替 $\Delta y$：

令 $x=x_0+\Delta x$，也可写成

这就是用切线代替曲线得到的线性近似。

取 $x_0=0$，当 $|x|$ 很小时：

前三个式子是同一个公式的特例：$\alpha=\dfrac12$ 给出 $\sqrt{1+x}$，$\alpha=-1$ 给出 $\dfrac{1}{1+x}$。这一组都可以由 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$ 得到，只在 $x\to0$ 时有效。

设 $A$ 为准确值，$a$ 为近似值，则

• 绝对误差：$|A-a|$；
• 相对误差：$\dfrac{|A-a|}{|A|}$，实际估计时常用 $\dfrac{|A-a|}{|a|}$。

用微分近似时，误差 $\Delta y-\mathrm{d}y=o(\Delta x)$，所以 $|\Delta x|$ 足够小时，绝对误差是比 $|\Delta x|$ 高阶的无穷小。实际测量中常把测量误差当作 $\Delta x$，用 $\mathrm{d}y=f'(x)\Delta x$ 估计函数值的误差。