参数方程所确定函数的导数

公式

设函数由参数方程

\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t) \end{cases}

确定，其中 $\varphi(t)$ 、 $\psi(t)$ 在参数区间内可导，且 $\varphi'(t)\ne 0$ 。则

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} =\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.

这里 $t$ 是参数，不是自变量。 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 仍然是曲线在 $(x(t),y(t))$ 处的切线斜率。

若需要二阶导数，先把 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 写成 $t$ 的函数，再对 $t$ 求导并除以 $\varphi'(t)$ ：

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =\frac{1}{\varphi'(t)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right).

$x=t^2$ ， $y=t^3$

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2t,\qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=3t^2,

所以

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}\quad (t\ne 0).

在 $t=1$ 处，曲线在点 $(1,1)$ 的切线斜率为 $\dfrac{3}{2}$ 。

单位圆 $x=\cos t$ ， $y=\sin t$

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t\quad (\sin t\ne 0).

在 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 处斜率为 $-1$ ，与点 $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处圆的切线方向一致。

比较参数方程中x、y的变化率。

正在准备演示…

题集

曲线 $x=t^2$ ， $y=t^3$ 在 $t=2$ 处的切线斜率是。
参考解答
$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3t}{2}$ ，代入 $t=2$ 得 $3$ 。
参数方程求导公式 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$ 要求：
选择答案
A
$\varphi'(t)\ne 0$
B
$\psi'(t)\ne 0$
C
$\varphi'(t)=\psi'(t)$
D
$t>0$
参考解答
$x=\varphi(t)$ 必须能局部确定反函数，因此要求 $\varphi'(t)\ne 0$ 。