复合函数的链式法则

设 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，则复合函数 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且

或写成

也就是说，复合函数对自变量的导数，等于外层函数对内层函数的导数，乘以内层函数对自变量的导数。

若 $y=f(u)$、$u=g(v)$、$v=h(x)$，则

从最外层开始逐层求导，每穿过一层就乘上该层内层函数的导数。

记 $u_0=g(x_0)$，$\Delta u=g(x_0+\Delta x)-g(x_0)$，$\Delta y=f(u_0+\Delta u)-f(u_0)$。

因为 $f$ 在 $u_0$ 处可导，定义

则 $\lim_{\Delta u\to 0}\varepsilon(\Delta u)=0$，并且对 $\Delta u=0$ 也成立

两边除以 $\Delta x\ne 0$：

由 $g$ 在 $x_0$ 处可导知 $g$ 在 $x_0$ 处连续，所以 $\Delta x\to 0$ 时 $\Delta u\to 0$，从而 $\varepsilon(\Delta u)\to 0$。又 $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\to g'(x_0)$，故

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