隐函数求导

若变量 $y$ 与 $x$ 的关系由方程

给出，而不是写成 $y=f(x)$ 的显式形式，则称 $y$ 是由该方程确定的隐函数。

例如 $x^2+y^2=1$ 在上半平面确定 $y=\sqrt{1-x^2}$，在下半平面确定 $y=-\sqrt{1-x^2}$；但在求导时不必先解出 $y$，可以直接对方程两边关于 $x$ 求导。

隐函数求导的前提是：在所讨论的点附近，方程确实确定了一个可导函数 $y=y(x)$。本页默认这一条件成立，具体的存在条件见隐函数的求导公式。

1. 对方程 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导。
2. 把 $y$ 看作 $x$ 的函数。对含 $y$ 的项使用链式法则，例如 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^2)=2y\cdot y',\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin y)=\cos y\cdot y'.$$
3. 把含 $y'$ 的项移到一边，解出 $y'$。结果通常同时含有 $x$ 和 $y$，这是正常的。