知识点

基本求导公式与四则运算法则

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公式

基本初等函数的导数

函数 $y=f(x)$	导函数 $y'=f'(x)$	条件
$C$	$0$	$C$ 为常数
$x^n$	$nx^{n-1}$	$n$ 为任意实数
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ 且 $a\ne 1$
$e^x$	$e^x$	—
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x\ln a}$	$a>0$ 且 $a\ne 1$ ， $x>0$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\cos x\ne 0$
$\cot x$	$-\csc^2 x=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$\sin x\ne 0$
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\lvert x\rvert<1$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\lvert x\rvert<1$
$\arctan x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	—
$\operatorname{arccot} x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$	—

四则运算的求导法则

设 $u=u(x)$ 、 $v=v(x)$ 都可导，则

[Cu]'=Cu',\qquad [u\pm v]'=u'\pm v',

[uv]'=u'v+uv',\qquad \left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad (v\ne 0).

三个函数相乘时，

[uvw]'=u'vw+uv'w+uvw'.

商法则有一个常用特例：

\left[\frac{C}{v}\right]'=-\frac{Cv'}{v^2}\quad (v\ne 0).

例子

多项式逐项求导

求 $f(x)=3x^2-2x+1$ 的导数。

逐项使用幂函数与常数公式：

f'(x)=3\cdot 2x-2+0=6x-2.

乘积法则

求 $f(x)=x^2\sin x$ 的导数。

f'(x)=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)' =2x\sin x+x^2\cos x.

商法则

求 $f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}$ 的导数。

f'(x)=\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} =\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2} =-\frac{2}{(x-1)^2}.

题集

练习

$f(x)=x^3$ 在 $x=1$ 处的导数是。
参考解答
$f'(x)=3x^2$ ，所以 $f'(1)=3$ 。
$f(x)=x\sin x$ 的导数是：
选择答案
A
$\sin x+x\cos x$
B
$\cos x$
C
$x\cos x$
D
$\sin x-x\cos x$
参考解答
由乘积法则， $(x)'\sin x+x(\sin x)'=\sin x+x\cos x$ 。

与其他求导方法的关系

公式表只覆盖基本初等函数。遇到复合函数、隐函数、反函数或参数方程时，需要配合链式法则、隐函数求导、反函数的导数和参数方程求导。幂指函数的求导见幂指函数。