拉格朗日中值定理

若 $f$ 满足

1. 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
2. 在开区间 $(a,b)$ 内可导，

则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

或写成

几何上，连接端点 $A(a,f(a))$ 与 $B(b,f(b))$ 的弦斜率为 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$；曲线弧 $AB$ 上至少存在一点 $C(\xi,f(\xi))$，该点处的切线平行于这条弦。

令 $\Delta x=b-a$，$\Delta y=f(b)-f(a)$，拉格朗日公式就写成

它精确地表达了函数增量与自变量增量的关系，因此也称为有限增量公式。注意它与微分的近似式 $\Delta y\approx f'(a)\Delta x$ 不同：有限增量公式是等式，只是中值点 $\xi$ 的位置未知。

构造辅助函数

$F$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F'(\xi)=0$，即

移项即得结论。