隐函数的求导公式

若方程 $F(x,y)=0$ 在选定点 $(x_0,y_0)$ 附近确定一个函数 $y=f(x)$，使得 $f(x_0)=y_0$，且邻域内恒有 $F(x,f(x))=0$，就称这个函数为由该方程确定的局部隐函数。定义描述函数与方程的关系，不要求先把 $y$ 显式解出来。

一个方程可能有多个分支，因此必须说明研究的是哪个点附近的分支。类似地，$F(x,y,z)=0$ 可以局部确定 $z=f(x,y)$；一组方程也可以同时确定多个未知函数。下方的定理给出局部存在、唯一及可微的一组充分条件。

设方程 $F(x,y)=0$ 满足：

1. 函数 $F$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内具有连续偏导数；
2. $F(x_0,y_0)=0$；
3. $F_y(x_0,y_0)\ne 0$。

则方程 $F(x,y)=0$ 在 $x_0$ 的某个邻域内唯一确定一个具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它在 $x_0$ 处取值 $y_0$，且

本页用 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 表示 $F$ 对相应变量的偏导数。求某一点处的导数时，公式右端取该点的偏导数值。这个结论称为隐函数存在定理。

三个条件各自排除一种失败：连续偏导数让 $F$ 可以在 $P_0$ 附近线性化；$F(x_0,y_0)=0$ 保证 $P_0$ 确实在曲线上；$F_y(x_0,y_0)\ne 0$ 保证方程能对 $y$ 解出，局部曲线的切线不竖直。第三条一旦不成立，公式的分母为零，结论本身也可能不再成立。

设方程 $F(x,y,z)=0$ 满足：

1. 函数 $F$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某个邻域内具有连续偏导数；
2. $F(x_0,y_0,z_0)=0$；
3. $F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0$。

则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一个具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，它在 $(x_0,y_0)$ 处取值 $z_0$，且

与一元情形相比，$x$ 与 $y$ 都是自变量，因此要分别固定其中一个、对另一个求偏导；分母始终是对被解出的变量 $z$ 的偏导数。

设方程组

满足：

1. $F$、$G$ 在点 $P_0(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某个邻域内对各变量具有连续偏导数；
2. 在 $P_0$ 处两式同时成立；
3. 偏导数组成的雅可比行列式在 $P_0$ 处不为零，即

则方程组在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，它们在 $(x_0,y_0)$ 处取值 $u_0$、$v_0$。

求 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 时，固定 $y$，把 $u$、$v$ 看成 $x$ 的函数，对两个方程分别关于 $x$ 求偏导：

这是关于 $\dfrac{\partial u}{\partial x}$、$\dfrac{\partial v}{\partial x}$ 的线性方程组，系数行列式正是 $J$。由 $J\ne 0$ 可用克莱姆法则解出

把 $x$ 换成 $y$，就得到对 $y$ 的偏导数：

记号 $\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}$ 表示把 $J$ 中对应变量所在的那一列换成 $(F_x,G_x)$，列的顺序与分母一致。以 $u_x$ 为例：分母是 $\partial(u,v)$，$u$ 所在的第一列被替换，得到 $\partial(x,v)$；$v_x$ 则替换第二列。

一元情形可以直接从 $F(x,f(x))=0$ 推出公式。

两个自变量的情形来自全微分。若 $z=f(x,y)$ 由 $F(x,y,z)=0$ 确定，则恒有 $F(x,y,f(x,y))=0$，两边求全微分：

另一方面 $\mathrm{d}z=z_x\,\mathrm{d}x+z_y\,\mathrm{d}y$。因为 $x$、$y$ 是自变量，$\mathrm{d}x$、$\mathrm{d}y$ 可以任意取值，比较两边同类项的系数就得到

这里用到 $F_z\ne 0$，否则不能除以 $F_z$。全微分的定义与形式不变性见全微分和多元复合函数的求导法则。方程组情形只是把同样的比较系数过程写成两个方程，再用克莱姆法则求解。