知识点

曲线之间的面积

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定义

由曲线 $y=f(x)$ （ $f(x)\ge 0$ ）、 $x$ 轴及直线 $x=a$ 、 $x=b$ 围成的曲边梯形，在 $x$ 处取宽 $\mathrm{d}x$ 的窄条，高近似为 $f(x)$ ，于是

\mathrm{d}A=f(x)\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.

若图形由上下两条曲线 $y=f(x)$ 、 $y=g(x)$ （ $f(x)\ge g(x)$ ）围成，微元的高换成两者之差：

\mathrm{d}A=\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_a^b\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\,\mathrm{d}x.

曲边梯形的面积： $y=x^2$ 与 $x$ 轴， $0\le x\le 1$

\mathrm{d}A=x^2\,\mathrm{d}x,\qquad A=\int_0^1x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}.

两曲线之间的面积： $y=x$ 与 $y=x^2$ ， $0\le x\le 1$

在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$ ，微元的高是 $x-x^2$ ，所以

A=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

改变积分上限并计算窄条面积之和。

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