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知识点

换元积分法

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原理

不定积分的基本公式只覆盖少数形式。以下用 ∫f(x) dx\int f(x)\,\mathrm{d}x 表示 ff 的全体原函数，CC 为任意常数；基本积分表见基本积分公式。换元积分法（也称变量代换法）是求不定积分的主要方法之一，它通过引入新的积分变量，把复杂的被积表达式化成基本积分表中的形式。两种换元的方向不同，依据都是复合函数求导的链式法则。

第一类换元法

设 F′(u)=f(u)F'(u)=f(u)，且 u=φ(x)u=\varphi(x) 在讨论的区间上可导。则

∫f(φ(x))φ′(x) dx=F(φ(x))+C.\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=F(\varphi(x))+C.

这里要求 ff 在 φ\varphi 的取值范围内有原函数。公式的关键是把 φ′(x) dx\varphi'(x)\,\mathrm{d}x 认成 dφ(x)\mathrm{d}\varphi(x)，再对 u=φ(x)u=\varphi(x) 使用基本积分表。

证明

由链式法则，

ddxF(φ(x))=F′(φ(x))φ′(x)=f(φ(x))φ′(x).\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(\varphi(x)) =F'(\varphi(x))\varphi'(x) =f(\varphi(x))\varphi'(x).

所以 F(φ(x))F(\varphi(x)) 是 f(φ(x))φ′(x)f(\varphi(x))\varphi'(x) 的一个原函数，右端加上任意常数即得全体原函数。

第二类换元法

设 x=ψ(t)x=\psi(t) 在区间上单调、可导，且 ψ′(t)≠0\psi'(t)\ne 0。则

∫f(x) dx=∫f(ψ(t))ψ′(t) dt.\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\psi(t))\psi'(t)\,\mathrm{d}t.

右端求出关于 tt 的原函数 G(t)+CG(t)+C 后，必须用反函数代回：由 x=ψ(t)x=\psi(t) 解出 t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x)，得到

∫f(x) dx=G(ψ−1(x))+C.\int f(x)\,\mathrm{d}x=G(\psi^{-1}(x))+C.

单调性保证反函数存在，ψ′(t)≠0\psi'(t)\ne 0 使反函数在对应点可导。答案不能留在 tt 上。

性质

第一类换元法

第一类换元法是复合函数求导法则的逆应用，适用于被积函数已经呈现为 f(φ(x))φ′(x)f(\varphi(x))\varphi'(x) 的形式，或只差一个常数因子的情形。操作时把 φ′(x) dx\varphi'(x)\,\mathrm{d}x 凑成 dφ(x)\mathrm{d}\varphi(x)，再整体换成 uu。

  1. 找出内层函数

    观察被积函数能否写成 f(φ(x))φ′(x)f(\varphi(x))\varphi'(x)，确定 φ(x)\varphi(x)。

  2. 凑出微分

    把 φ′(x) dx\varphi'(x)\,\mathrm{d}x 写成 dφ(x)\mathrm{d}\varphi(x)。如果只差常数因子，在积分号外补上相应的倒数。

  3. 对 uu 积分

    令 u=φ(x)u=\varphi(x)，用基本积分表求 ∫f(u) du\int f(u)\,\mathrm{d}u。

  4. 代回并加常数

    把 uu 换回 φ(x)\varphi(x)，并加上积分常数 CC。

常见凑微分

被积表达式中的因子凑成的微分
dx\mathrm{d}xdx\mathrm{d}x
k dxk\,\mathrm{d}xd(kx)\mathrm{d}(kx)
x dxx\,\mathrm{d}x12 d(x2)\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}(x^{2})
sin⁡x dx\sin x\,\mathrm{d}x−d(cos⁡x)-\mathrm{d}(\cos x)
cos⁡x dx\cos x\,\mathrm{d}xd(sin⁡x)\mathrm{d}(\sin x)
1x dx\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}xd(ln⁡∣x∣)\mathrm{d}(\ln\lvert x\rvert)
ex dxe^{x}\,\mathrm{d}xd(ex)\mathrm{d}(e^{x})
11−x2 dx\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,\mathrm{d}xd(arcsin⁡x)\mathrm{d}(\arcsin x)
11+x2 dx\dfrac{1}{1+x^{2}}\,\mathrm{d}xd(arctan⁡x)\mathrm{d}(\arctan x)

第二类换元法

第二类换元法主动设置 x=ψ(t)x=\psi(t)，把难积的 xx 表达式换成较简单的 tt 表达式。它主要用于消除根式，或把三角函数有理式化为有理函数。求出关于 tt 的原函数后，必须回代成 xx。

  1. 选择代换

    根据根式或三角函数的形式确定 x=ψ(t)x=\psi(t)，并取使根式化简后符号确定的 tt 范围。

  2. 换掉微分

    由 x=ψ(t)x=\psi(t) 求出 dx=ψ′(t) dt\mathrm{d}x=\psi'(t)\,\mathrm{d}t，把被积函数中的 xx 和 dx\mathrm{d}x 同时换掉。

  3. 对 tt 积分

    用基本积分表或其它方法求出关于 tt 的原函数。

  4. 回代并检验

    用 t=ψ−1(x)t=\psi^{-1}(x) 把结果换回 xx，加上常数 CC；必要时对结果求导检验。

三角代换

三角代换用于消除二次根式。下表默认 a>0a>0，tt 的范围取得使根式化简后不需要再加绝对值。

根式类型换元公式tt 的范围化简结果
a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}}x=asin⁡tx=a\sin t[−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]a2−x2=acos⁡t\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t
a2+x2\sqrt{a^{2}+x^{2}}x=atan⁡tx=a\tan t(−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)a2+x2=asec⁡t\sqrt{a^{2}+x^{2}}=a\sec t
x2−a2\sqrt{x^{2}-a^{2}}x=asec⁡tx=a\sec t[0,π2)∪[π,3π2)\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)x2−a2=atan⁡t\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\tan t

根式代换

被积函数含有 ax+bn\sqrt[n]{ax+b} 时，令 u=ax+bnu=\sqrt[n]{ax+b}，则 un=ax+bu^{n}=ax+b，从而

x=un−ba,dx=naun−1 du.x=\frac{u^{n}-b}{a},\qquad \mathrm{d}x=\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.

于是

∫f(ax+bn)dx=∫f(u)⋅naun−1 du.\int f\left(\sqrt[n]{ax+b}\right)\mathrm{d}x =\int f(u)\cdot\frac{n}{a}u^{n-1}\,\mathrm{d}u.

这里 nn 为正整数，a≠0a\ne 0，且根式要在实数的范围内有定义。

万能代换

被积函数是 sin⁡x\sin x、cos⁡x\cos x 的有理式时，可令 t=tan⁡x2t=\tan\dfrac{x}{2}。在 x≠(2k+1)πx\ne(2k+1)\pi 的区间上，

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,dx=21+t2 dt.\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\qquad \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t.

这样 ∫R(sin⁡x,cos⁡x) dx\int R(\sin x,\cos x)\,\mathrm{d}x 就化为关于 tt 的有理函数的积分。万能代换的计算量通常较大，只在其它方法不便使用时才选。

定积分换元

设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，变换 x=φ(t)x=\varphi(t) 满足

  1. φ(α)=a\varphi(\alpha)=a，φ(β)=b\varphi(\beta)=b；
  2. φ\varphi 在 [α,β][\alpha,\beta]（或 [β,α][\beta,\alpha]）上具有连续导数，且值域包含在 [a,b][a,b] 内，

则

∫abf(x) dx=∫αβf[φ(t)]φ′(t) dt.\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.

条件不要求 α<β\alpha<\beta：当 α>β\alpha>\beta 时，右端按从 α\alpha 到 β\beta 的方向积分，交换上下限会使符号改变。

不定积分中常用的凑微分与三角代换也可用于定积分，但换元时要同时换限。

例子

线性替换：∫cos⁡(3x+2) dx\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x

当 φ(x)=ax+b\varphi(x)=ax+b 时，d(ax+b)=a dx\mathrm{d}(ax+b)=a\,\mathrm{d}x，所以 dx=1a d(ax+b)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\,\mathrm{d}(ax+b)。取 a=3a=3、b=2b=2：

∫cos⁡(3x+2) dx=13∫cos⁡(3x+2) d(3x+2)=13sin⁡(3x+2)+C.\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{3}\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}(3x+2) =\frac{1}{3}\sin(3x+2)+C.

也可以写成显式换元：令 u=3x+2u=3x+2，则 dx=13 du\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u，

∫cos⁡(3x+2) dx=13∫cos⁡u du=13sin⁡u+C=13sin⁡(3x+2)+C.\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{3}\int\cos u\,\mathrm{d}u =\frac{1}{3}\sin u+C =\frac{1}{3}\sin(3x+2)+C.

三角代换：∫14−x2 dx\int\dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x

根式为 a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}} 型，其中 a=2a=2。

  1. 换元：令 x=2sin⁡tx=2\sin t，取 t∈(−π2,π2)t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)，则 dx=2cos⁡t dt\mathrm{d}x=2\cos t\,\mathrm{d}t。

  2. 替换：

    4−x2=4−4sin⁡2t=4cos⁡2t=2∣cos⁡t∣=2cos⁡t,\sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}t}=\sqrt{4\cos^{2}t}=2\lvert\cos t\rvert=2\cos t,

    最后一步用了 t∈(−π2,π2)t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) 时 cos⁡t>0\cos t>0。

  3. 积分：

    ∫2cos⁡t2cos⁡t dt=∫1 dt=t+C.\int\frac{2\cos t}{2\cos t}\,\mathrm{d}t=\int 1\,\mathrm{d}t=t+C.

  4. 代回：由 x=2sin⁡tx=2\sin t 得 t=arcsin⁡x2t=\arcsin\dfrac{x}{2}，所以

    ∫14−x2 dx=arcsin⁡x2+C.\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{2}+C.

换元并换限：∫0aa2−x2 dx\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x（a>0a>0）

令 x=asin⁡tx=a\sin t，t∈[0,π2]t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]，则 dx=acos⁡t dt\mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t，且 t=0t=0 对应 x=0x=0，t=π2t=\frac{\pi}{2} 对应 x=ax=a。于是

∫0aa2−x2 dx=∫0π2acos⁡t⋅acos⁡t dt=a2∫0π2cos⁡2t dt=πa24.\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x =\int_0^{\frac{\pi}{2}}a\cos t\cdot a\cos t\,\mathrm{d}t =a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\,\mathrm{d}t =\frac{\pi a^2}{4}.

最后一步用了 I2=12⋅π2I_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}。全程不需要把 tt 回代成 xx。

探索

定积分换元后上下限怎样变化？

以u = x² 为例比较新旧积分限。

正在准备演示…

题集

练习

  1. ∫cos⁡(3x+2) dx\int\cos(3x+2)\,\mathrm{d}x 的结果是：

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    令 u=3x+2u=3x+2，则 dx=13 du\mathrm{d}x=\dfrac{1}{3}\,\mathrm{d}u，积分为 13∫cos⁡u du=13sin⁡u+C\dfrac{1}{3}\int\cos u\,\mathrm{d}u=\dfrac{1}{3}\sin u+C。

  2. ∫xex2 dx\int x e^{x^{2}}\,\mathrm{d}x 的结果是：

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    参考解答

    令 u=x2u=x^{2}，则 du=2x dx\mathrm{d}u=2x\,\mathrm{d}x，所以 x dx=12 dux\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\,\mathrm{d}u，积分为 12∫eu du=12ex2+C\dfrac{1}{2}\int e^{u}\,\mathrm{d}u=\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C。

  3. 求 ∫9−x2 dx\int\sqrt{9-x^{2}}\,\mathrm{d}x 时，下列代换中能直接消除根式的是：

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    根式为 a2−x2\sqrt{a^{2}-x^{2}} 型，a=3a=3，应令 x=3sin⁡tx=3\sin t，此时 9−x2=3cos⁡t\sqrt{9-x^{2}}=3\cos t，根式被消除。x=3tan⁡tx=3\tan t 和 x=3sec⁡tx=3\sec t 分别对应 a2+x2\sqrt{a^{2}+x^{2}} 与 x2−a2\sqrt{x^{2}-a^{2}} 型。

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