定积分的对称与周期性

设 $f$ 在 $[-a,a]$ 上连续，$a>0$。

• 若 $f$ 是奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$，则

  $$\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=0.$$

• 若 $f$ 是偶函数，即 $f(-x)=f(x)$，则

  $$\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x.$$

两条合起来常记作“偶倍奇零”。

设 $f$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任意实数 $a$，

也就是说，长度为一个周期的区间上的积分值与起点无关。把 $[a,a+T]$ 拆成 $[a,0]$、$[0,T]$、$[T,a+T]$ 三段，对最后一段作平移 $x=t+T$，它与第一段正好相消。