分部积分法

设 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 都在区间 $I$ 上可导。由乘积的求导法则

移项并在两边求不定积分，得到分部积分公式

写成展开形式为

公式把积分 $\int u\,\mathrm{d}v$ 换成了积分 $\int v\,\mathrm{d}u$，所以它并不直接算出结果，而是把问题转成另一个积分。只有当新的积分更容易求时，这个替换才有意义——这正是选择 $u$ 与 $\mathrm{d}v$ 时要争取的效果。

公式要求 $u$、$v$ 可导，且右端的 $\int v\,\mathrm{d}u$ 存在。求 $v$ 时任取 $\mathrm{d}v$ 的一个原函数即可：不同的原函数只差一个常数，这个常数只会改变最终结果中的常数项，不影响积分能否求出。

对乘积 $u(x)v(x)$ 用乘积求导法则：

把 $u(x)v'(x)$ 留在一边，其余项移到另一边：

两边对 $x$ 积分。左边是 $u(x)v'(x)$ 的原函数，右边第一项是 $u(x)v(x)$，第二项则写成 $-\int u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$：

写成微分形式就是 $\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$。推导只用到了乘积求导法则和积分的线性性质，没有对 $u$、$v$ 的形状作额外要求。

分组是否恰当决定分部积分能否奏效。理想的选择要同时满足两点：

1. $u$ 求导后更简单。 幂函数求导降次，对数函数与反三角函数求导后化为有理函数，求导能使复杂因子消失。
2. $\mathrm{d}v$ 容易积分。 要能立刻写出 $v=\int \mathrm{d}v$，例如指数函数、正弦、余弦。

这两条常常互相冲突：对数函数求导变简单却不容易积分，指数函数恰好相反。口诀就是用来打破僵局的。

在一个乘积中，按下列顺序从高到低排列，排在最前的函数取作 $u$，其余部分连同 $\mathrm{d}x$ 一起作为 $\mathrm{d}v$。

例如 $\int x\ln x\,\mathrm{d}x$ 中，“对”优先于“幂”，所以取 $u=\ln x$、$\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$；$\int x^2e^x\,\mathrm{d}x$ 中，“幂”优先于“指”，所以取 $u=x^2$、$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$。

• 对数或反三角乘幂函数：一次分部就把 $u$ 化成有理函数，剩下的积分用凑微分处理。
• 幂函数乘指数或三角函数：每分部一次幂函数的次数降低一次，$x^n$ 需要连续做 $n$ 次，直到幂函数变成常数。
• 指数函数乘三角函数：降次行不通，两次分部后右端重新出现原积分，于是把原积分当作未知量，解一次方程。

设 $u(x)$、$v(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有连续导数，则

简写为