牛顿–莱布尼茨公式

定义

定理设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续， $F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a).

这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式。

证明

令 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ 。由微积分基本定理， $\Phi'(x)=f(x)$ ，所以 $\Phi$ 也是 $f$ 的原函数。于是

\bigl(F(x)-\Phi(x)\bigr)'=f(x)-f(x)=0.

由拉格朗日中值定理的推论，导数恒为零的函数为常数，设 $F(x)-\Phi(x)=C$ 。令 $x=a$ ，注意 $\Phi(a)=0$ ，得 $C=F(a)$ 。因此

\Phi(x)=F(x)-F(a).

取 $x=b$ ，即得 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$ 。

通常把 $F(b)-F(a)$ 记作 $\bigl[F(x)\bigr]_a^b$ 或 $F(x)\big|_a^b$ ，于是

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a).

方括号与竖线含义相同：先代入上限，再减去代入下限的结果。

牛顿-莱布尼茨公式把定积分与不定积分联系起来。定积分本来是由积分和的极限定义的，直接用定义计算需要分割、求和再取极限；公式说明它只取决于原函数在两个端点处的值之差。于是求定积分归结为求原函数，而求原函数的方法（基本积分公式、换元积分法、分部积分法等）可以直接借用。

用牛顿-莱布尼茨公式计算 $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$

取原函数 $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ ，则

\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.

调整积分上下限并比较原函数的差值。

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题集

$\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=$ 。
参考解答
取原函数 $F(x)=x^2$ ，则 $\int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=\bigl[x^2\bigr]_0^1=1-0=1$ 。
设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续， $F$ 是 $f$ 的一个原函数。下列说法正确的是
题 notation · choice
A
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$
B
$\bigl[F(x)\bigr]_a^b=F(b)-F(a)$
C
$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(a)-F(b)$
D
公式中的 $F$ 必须取加上常数 $C$ 的原函数，否则结果不对
参考解答
代入顺序是上限减下限，所以C错；任意一个原函数代入后常数都会抵消，D错。