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知识点

积分上限函数的导数

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定义

设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续。对 [a,b][a,b] 上的每一点 xx，定积分 ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t 都存在，于是可以定义一个以 xx 为自变量的函数

Φ(x)=∫axf(t) dt,a≤x≤b.\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\qquad a\le x\le b.

Φ\Phi 称为变上限的定积分，也叫积分上限函数。这里 xx 出现在积分上限，被积函数的变量改用 tt，以免与上限混淆；tt 是哑变量，换成别的字母不影响 Φ(x)\Phi(x)。

若在区间 II 上有 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)，则称 FF 是 ff 在 II 上的一个原函数。原函数不唯一：把一个原函数加上任意常数，仍然是原函数；反过来，区间 II 上 ff 的任意两个原函数只相差一个常数。

性质

定理（原函数存在定理） 设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，则积分上限函数 Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t 在 [a,b][a,b] 上可导（端点处指相应的单侧导数），且

Φ′(x)=ddx∫axf(t) dt=f(x).\Phi'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x).

因此，连续函数 ff 的积分上限函数 Φ\Phi 就是 ff 的一个原函数。这条结论同时说明：在闭区间上连续的函数一定有原函数。

证明

设 x∈(a,b)x\in(a,b)，Δx≠0\Delta x\ne 0 且 x+Δx∈[a,b]x+\Delta x\in[a,b]。由积分对区间的可加性，

ΔΦ=Φ(x+Δx)−Φ(x)=∫xx+Δxf(t) dt.\Delta\Phi=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x) =\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t.

以 Δx>0\Delta x>0 为例（Δx<0\Delta x<0 时先交换上下限，结论相同）。在区间 [x,x+Δx][x,x+\Delta x] 上对 ff 用积分中值定理（见 定积分的概念与性质），存在 ξ∈[x,x+Δx]\xi\in[x,x+\Delta x]，使

∫xx+Δxf(t) dt=f(ξ)Δx.\int_x^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\xi)\Delta x.

于是 ΔΦΔx=f(ξ)\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta x}=f(\xi)。当 Δx→0\Delta x\to 0 时 ξ→x\xi\to x，由 ff 在 xx 处连续得 f(ξ)→f(x)f(\xi)\to f(x)，故 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)。端点 x=ax=a、x=bx=b 处用同样的推理讨论单侧导数，结论相同。

上下限都是函数时的导数

设 ff 连续，ϕ\phi、ψ\psi 可导，且 ϕ(x)\phi(x)、ψ(x)\psi(x) 都落在 ff 的连续区间内，记

F(x)=∫ϕ(x)ψ(x)f(t) dt,F(x)=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,

则

F′(x)=ddx∫ϕ(x)ψ(x)f(t) dt=f[ψ(x)]ψ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x).F'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t =f[\psi(x)]\psi'(x)-f[\phi(x)]\phi'(x).

这条公式称为莱布尼茨公式。它的来源是把积分拆成两个积分上限函数之差：

∫ϕ(x)ψ(x)f(t) dt=∫aψ(x)f(t) dt−∫aϕ(x)f(t) dt,\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t =\int_a^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t-\int_a^{\phi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t,

再对两项分别用微积分基本定理，并对外层用复合函数的链式法则求导。

例子

求 Φ(x)=∫0xsin⁡t dt\Phi(x)=\int_0^x\sin t\,\mathrm{d}t 的导数

由微积分基本定理，直接去掉积分号并把 tt 换成上限 xx：

Φ′(x)=sin⁡x.\Phi'(x)=\sin x.

上限是函数：ddx∫0x2cos⁡t dt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^{x^2}\cos t\,\mathrm{d}t

上限 ψ(x)=x2\psi(x)=x^2，外层被积函数在 ψ(x)\psi(x) 处的值为 cos⁡(x2)\cos(x^2)，再乘上限的导数 2x2x：

ddx∫0x2cos⁡t dt=cos⁡(x2)⋅2x.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^{x^2}\cos t\,\mathrm{d}t=\cos(x^2)\cdot 2x.

上下限都是函数：ddx∫xx2et dt\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^{x^2}e^{t}\,\mathrm{d}t

上限项带正号，下限项带负号：

ddx∫xx2et dt=ex2⋅2x−ex⋅1=2xex2−ex.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^{x^2}e^{t}\,\mathrm{d}t =e^{x^2}\cdot 2x-e^{x}\cdot 1 =2xe^{x^2}-e^{x}.

探索

变上限积分的变化率是什么？

比较积分上限函数与被积函数在上限处的值。

正在准备演示…

题集

练习

  1. 设 Φ(x)=∫0xt2 dt\Phi(x)=\int_0^x t^2\,\mathrm{d}t，则 Φ′(2)=\Phi'(2)= 。

    参考解答

    由微积分基本定理，Φ′(x)=x2\Phi'(x)=x^2，代入 x=2x=2 得 44。

  2. 设 F(x)=∫0x2t dtF(x)=\int_0^{x^2}t\,\mathrm{d}t，则 F′(1)=F'(1)= 。

    参考解答

    上限为 x2x^2，由莱布尼茨公式，F′(x)=x2⋅2x=2x3F'(x)=x^2\cdot 2x=2x^3，代入 x=1x=1 得 22。

  3. 设 ff 在 [a,b][a,b] 上连续，Φ(x)=∫axf(t) dt\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t。关于 Φ\Phi，下列说法正确的是

    选择答案
    参考解答

    微积分基本定理给出 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x)=f(x)，所以 Φ\Phi 是 ff 的一个原函数。不定积分指全体原函数，是函数族，与单个 Φ\Phi 不同。

  4. 设 ff 连续，且对一切 xx 有 ∫0xf(t) dt=x2\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t=x^2，则 f(x)=f(x)=

    选择答案
    参考解答

    对等式两边求导，左边由微积分基本定理得 f(x)f(x)，右边得 2x2x，所以 f(x)=2xf(x)=2x。

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