华里斯公式 · Learning Notes

定义

记

I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,\mathrm{d}x,\qquad n=0,1,2,\dots

两个积分相等，因为作代换 $x=\frac{\pi}{2}-t$ 后 $\sin^n x$ 与 $\cos^n t$ 互换。

对 $n\ge 2$ ，

I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2},\qquad I_0=\frac{\pi}{2},\quad I_1=1.

反复使用递推，得到

I_n= \begin{cases} \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n \text{ 为偶数},\\[6pt] \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots\dfrac{2}{3}\cdot 1, & n \text{ 为奇数}. \end{cases}

用双阶乘写就是 $I_{2m}=\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ ， $I_{2m+1}=\dfrac{(2m)!!}{(2m+1)!!}$ 。

证明递推公式的推导

对 $n\ge 2$ ，把 $\sin^n x$ 写成 $\sin^{n-1}x\cdot\sin x$ ，取 $u=\sin^{n-1}x$ ， $\mathrm{d}v=\sin x\,\mathrm{d}x$ ，则 $v=-\cos x$ 。于是

\begin{aligned} I_n &=\bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} +(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\cos^2x\,\mathrm{d}x\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x\,(1-\sin^2x)\,\mathrm{d}x\\ &=(n-1)(I_{n-2}-I_n). \end{aligned}

边界项在两端都为 $0$ ，移项得 $nI_n=(n-1)I_{n-2}$ 。

华里斯公式： $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4x\,\mathrm{d}x$

$n=4$ 为偶数，按公式

I_4=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{16}.

调整幂次，查看递推得到的积分值。

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