反常积分

设 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，取 $t>a$。若极限 $\lim_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称它为 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的反常积分，记作

此时称积分收敛；若极限不存在，则称积分发散。

类似地：

• 在 $(-\infty,b]$ 上，$\displaystyle\int_{-\infty}^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to-\infty}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x$。
• 在 $(-\infty,+\infty)$ 上，任取 $c$， $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$；右端两个积分都收敛时，原积分才收敛。

若 $f(x)\ge 0$，$\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛表示曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$ 与 $x$ 轴围成的无界区域面积有限。这是反常积分与定积分共享的几何意义。

设 $f$ 在 $(a,b]$ 上连续，在 $a$ 的右侧邻域内无界，称 $a$ 为 $f$ 的瑕点。取 $t\in(a,b)$，若极限 $\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 存在，则称它为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的反常积分，也称瑕积分，记作

类似地：

• 瑕点在上限 $b$：$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{t\to b^-}\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x$。
• 瑕点在内部 $c\in(a,b)$：$\displaystyle\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\,\mathrm{d}x$，两个积分都收敛时原积分才收敛。

设在 $[a,+\infty)$ 上 $0\le f(x)\le g(x)$，且两个函数都连续。

• 若 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛（大收则小收）。
• 若 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散（小发则大发）。

极限形式：设 $f(x)\ge 0$，$g(x)>0$，且

• 若 $0<\lambda<+\infty$，则两个积分同敛散。
• 若 $\lambda=0$，且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 收敛。
• 若 $\lambda=+\infty$，且 $\int_a^{+\infty}g(x)\,\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 发散。

常用比较对象是 $g(x)=\frac{1}{x^p}$；瑕点 $x=a$ 附近改用 $g(x)=\frac{1}{(x-a)^p}$，并把极限过程换成 $x\to a^+$，其余结论相同。判断时先估计 $f$ 在问题端点附近的主部，再挑 $p$ 使比较对象的敛散已知。