定积分的元素法 · Learning Notes

定义

设量 $Q$ 分布在区间 $[a,b]$ 上，并且对区间可加：把 $[a,b]$ 分成若干小段，各段对应的量之和等于 $Q$ 。在 $[x,x+\mathrm{d}x]$ 上，若 $Q$ 的增量 $\Delta Q$ 可近似写成

\Delta Q\approx\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x,

其中 $\mathrm{d}Q$ 与 $\Delta Q$ 的误差在分段细化时受到一致控制，例如误差为一致的 $o(\mathrm{d}x)$ ，则称 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$ 为量 $Q$ 的积分微元（简称微元），并且

Q=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x.

“可加性”保证各段能累加成积分，“线性主部”与对余项的一致控制保证分段累加后的总误差趋于零。两个条件缺一不可。

建立坐标系

按问题的几何特征选自变量（ $x$ 或 $y$ ），确定积分区间 $[a,b]$ 。
取微元

在区间内任取小区间 $[x,x+\mathrm{d}x]$ ，写出对应增量 $\Delta Q$ 的近似式 $\mathrm{d}Q=f(x)\,\mathrm{d}x$ 。 $\mathrm{d}Q$ 必须是 $\mathrm{d}x$ 的线性函数， $\mathrm{d}x$ 的高阶无穷小一律略去。
列积分式

把微元在 $[a,b]$ 上累加，写成 $Q=\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ 。
计算积分

用牛顿–莱布尼茨公式求出定积分的值。

用中点矩形和近似曲边面积。

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