$\Gamma$ 函数

取 $u=x^{s}$，$\mathrm{d}v=e^{-x}\,\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=sx^{s-1}\,\mathrm{d}x$，$v=-e^{-x}$。于是

$x\to+\infty$ 时 $x^se^{-x}\to 0$；$x\to 0^+$ 时，因为 $s>0$，也有 $x^se^{-x}\to 0$。所以边界项为 $0$，即 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$。