定积分的概念与性质

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。在 $[a,b]$ 内插入分点

把区间分成 $n$ 个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$。在每个小区间上任取一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作积分和

再记 $\lambda=\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n\}$。若当 $\lambda\to 0$ 时 $S$ 的极限存在，并且这个极限与区间的分法、点 $\xi_i$ 的取法都无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，并把该极限称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分：

其中 $a$ 是积分下限，$b$ 是积分上限，$f(x)$ 是被积函数，$x$ 是积分变量。

定义的过程可以概括为四步：分割、近似（用 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 代替第 $i$ 个小曲边梯形的面积）、求和、取极限。定积分是一个数，只由被积函数和积分区间决定，与积分变量用什么字母无关：

定义默认 $a<b$。为了书写方便，再规定 $\int_a^a f(x)\,\mathrm{d}x=0$ 以及

也就是说，交换上下限时积分值变号。下面涉及不等式的性质都以 $a<b$ 为前提。

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ 等于由曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 以及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积。

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上变号，定积分等于 $x$ 轴上方的面积减去下方的面积，即各部分面积的代数和；此时它不再等于几何面积。

以下性质都假设涉及的定积分存在。

设 $\alpha$、$\beta$ 为常数，则

设 $a<c<b$，则

这条性质把积分区间拆成两段，是分段函数积分和变上限函数讨论的基础。

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\equiv 1$，则

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，且 $a<b$，则

由此得到两条推论。

• 推论1（比较）：若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，且 $a<b$，则 $$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.$$
• 推论2（绝对值不等式）：若 $a<b$，则 $$\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right|\le\int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x.$$

设 $M$ 与 $m$ 分别为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大值与最小值，且 $a<b$，则

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $a<b$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使

这个等式称为积分中值公式。量

称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值；中值定理说明连续函数一定能取到自己的平均值。

由估值定理，$f$ 在 $[a,b]$ 上的最小值 $m$ 与最大值 $M$ 满足

记 $\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$。因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，由连续函数的介值定理，存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=\mu$。两边乘以 $b-a$，即得