Learning Notes.
返回上级
知识点

基本积分公式

7 分钟阅读

记号与约定

设函数 ff 在区间 II 上有定义。若 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) 对 II 内每一点成立，则称 FF 是 ff 在 II 上的一个原函数。ff 的全体原函数记作

∫f(x) dx=F(x)+C,\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C,

其中 CC 是任意常数，称为积分常数。这个记号表示一个函数族：给 FF 加上不同的常数，得到的仍然是 ff 的原函数；反过来，同一区间上的任意两个原函数只相差一个常数。

积分号中的 dx\mathrm{d}x 与积分号配对，说明对哪个变量积分，不是与 f(x)f(x) 相乘的因子。换用其它字母作积分变量时公式形式不变，例如 ∫f(t) dt=F(t)+C\int f(t)\,\mathrm{d}t=F(t)+C。

常数与适用区间

  • 每个公式只在被积函数有定义的区间上成立。区间不能跨越被积函数的间断点；例如 ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C 分别在 (−∞,0)(-\infty,0) 和 (0,+∞)(0,+\infty) 上成立，两段上的常数可以取不同的值。
  • 写不定积分的结果时不能漏掉 CC。需要确定某一个具体的原函数时，再用附加条件定出 CC。
  • 对结果求导可以检验公式：若右边求导后等于被积函数，公式在该区间上就成立。

公式

以下默认 CC 为任意常数，α\alpha 为实数，aa 与 kk 为常数。个别公式对 aa 的范围有额外要求时写在条件栏。每一条公式都在被积函数有定义的任意区间上成立。

基础函数

这些公式是微分运算的逆运算，是积分计算的核心。

积分结果条件
∫0 dx\int 0\,\mathrm{d}xCC—
∫k dx\int k\,\mathrm{d}xkx+Ckx+Ckk 为常数
∫xα dx\int x^{\alpha}\,\mathrm{d}xxα+1α+1+C\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+Cα≠−1\alpha\ne-1；在 xαx^{\alpha} 有定义的区间上
∫1x dx\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}xln⁡∣x∣+C\ln\lvert x\rvert+Cx≠0x\ne 0
∫ax dx\int a^{x}\,\mathrm{d}xaxln⁡a+C\dfrac{a^{x}}{\ln a}+Ca>0a>0，a≠1a\ne 1
∫ex dx\int e^{x}\,\mathrm{d}xex+Ce^{x}+C—

三角函数

积分结果条件
∫cos⁡x dx\int \cos x\,\mathrm{d}xsin⁡x+C\sin x+C—
∫sin⁡x dx\int \sin x\,\mathrm{d}x−cos⁡x+C-\cos x+C—
∫sec⁡2x dx\int \sec^{2}x\,\mathrm{d}xtan⁡x+C\tan x+Ccos⁡x≠0\cos x\ne 0
∫csc⁡2x dx\int \csc^{2}x\,\mathrm{d}x−cot⁡x+C-\cot x+Csin⁡x≠0\sin x\ne 0
∫sec⁡xtan⁡x dx\int \sec x\tan x\,\mathrm{d}xsec⁡x+C\sec x+Ccos⁡x≠0\cos x\ne 0
∫csc⁡xcot⁡x dx\int \csc x\cot x\,\mathrm{d}x−csc⁡x+C-\csc x+Csin⁡x≠0\sin x\ne 0

常用扩展

这些公式在涉及分式和三角函数时非常常用。

积分结果条件
∫tan⁡x dx\int \tan x\,\mathrm{d}x−ln⁡∣cos⁡x∣+C-\ln\lvert\cos x\rvert+Ccos⁡x≠0\cos x\ne 0
∫cot⁡x dx\int \cot x\,\mathrm{d}xln⁡∣sin⁡x∣+C\ln\lvert\sin x\rvert+Csin⁡x≠0\sin x\ne 0
∫sec⁡x dx\int \sec x\,\mathrm{d}xln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+Ccos⁡x≠0\cos x\ne 0
∫csc⁡x dx\int \csc x\,\mathrm{d}xln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\ln\lvert\csc x-\cot x\rvert+Csin⁡x≠0\sin x\ne 0

反三角与复杂根式

这些积分的结果通常用于有理分式和根式代换后的计算。

积分结果条件
∫1a2+x2 dx\int \dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\,\mathrm{d}x1aarctan⁡xa+C\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}+Ca≠0a\ne 0
∫1a2−x2 dx\int \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}xarcsin⁡xa+C\arcsin\dfrac{x}{a}+Ca>0a>0，∣x∣<a\lvert x\rvert<a
∫1x2±a2 dx\int \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}\,\mathrm{d}xln⁡∣x+x2±a2∣+C\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right\rvert+Ca≠0a\ne 0，x2±a2>0x^{2}\pm a^{2}>0
∫1x2−a2 dx\int \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}}\,\mathrm{d}x12aln⁡∣x−ax+a∣+C\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert+Ca≠0a\ne 0，x≠±ax\ne\pm a

第三行的两个根式要分别看待：取 x2+a2x^{2}+a^{2} 时对任意 xx 都有定义；取 x2−a2x^{2}-a^{2} 时要求 ∣x∣>∣a∣\lvert x\rvert>\lvert a\rvert。

特殊积分

这些公式通常由分部积分法或三角代换得到，建议连同条件一起记住结果。

积分结果条件
∫ln⁡x dx\int \ln x\,\mathrm{d}xxln⁡x−x+Cx\ln x-x+Cx>0x>0
∫arctan⁡x dx\int \arctan x\,\mathrm{d}xxarctan⁡x−12ln⁡(1+x2)+Cx\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})+C—
∫a2−x2 dx\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,\mathrm{d}xx2a2−x2+a22arcsin⁡xa+C\dfrac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\dfrac{a^{2}}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+Ca>0a>0，∣x∣≤a\lvert x\rvert\le a
∫x2±a2 dx\int \sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\,\mathrm{d}xx2x2±a2±a22ln⁡∣x+x2±a2∣+C\dfrac{x}{2}\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\pm\dfrac{a^{2}}{2}\ln\left\lvert x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right\rvert+Ca≠0a\ne 0，x2±a2>0x^{2}\pm a^{2}>0

例子

逐项使用公式表求 ∫(3x2+1x)dx\int\left(3x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)\mathrm{d}x

被积函数是两项之和，先逐项积分：

∫3x2 dx=x3+C1,∫1x dx=ln⁡∣x∣+C2.\int 3x^{2}\,\mathrm{d}x=x^{3}+C_{1},\qquad \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert x\rvert+C_{2}.

合并时把两个任意常数写成一个，

∫(3x2+1x)dx=x3+ln⁡∣x∣+C.\int\left(3x^{2}+\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x=x^{3}+\ln\lvert x\rvert+C.

结果在 x>0x>0 与 x<0x<0 两个区间上分别成立。

题集

练习

  1. ∫x4 dx\int x^{4}\,\mathrm{d}x 的结果是：

    选择答案
    参考解答

    幂函数公式给出 ∫x4 dx=x4+14+1+C=x55+C\int x^{4}\,\mathrm{d}x=\dfrac{x^{4+1}}{4+1}+C=\dfrac{x^{5}}{5}+C。

  2. ∫1x dx\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x 的结果是：

    选择答案
    参考解答

    被积函数在 x>0x>0 与 x<0x<0 上都有定义，所以结果要写 ln⁡∣x∣+C\ln\lvert x\rvert+C；只写 ln⁡x\ln x 会漏掉负半轴。

本题集已答对 0 / 2 个可判分项