方向导数 · Learning Notes

定义

本页讨论二元函数 $z=f(x,y)$ ，设它在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。自 $P_0$ 引一条射线 $l$ ，设 $l$ 与 $x$ 轴正向、 $y$ 轴正向的夹角分别为 $\alpha$ 、 $\beta$ 。射线上的点

P(x_0+\Delta x,\ y_0+\Delta y)

到 $P_0$ 的距离记作

\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}.

因为 $P$ 在射线 $l$ 上，增量必须取

\Delta x=\rho\cos\alpha,\qquad \Delta y=\rho\cos\beta

的形式，而不能是任意趋于零的一对增量。 $\cos\alpha$ 、 $\cos\beta$ 称为方向 $l$ 的方向余弦，满足

\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1.

本页用到可微性。若

\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho) \qquad(\rho\to0),

则称 $f$ 在 $P_0$ 处可微；可微的定义与判定见全微分，偏导数的记号见偏导数。三元函数的情形在相应位置单独说明。

若极限

\lim_{\rho\to0^+} \frac{f(x_0+\rho\cos\alpha,\ y_0+\rho\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{\rho}

存在，则称它为 $f$ 在点 $P_0$ 沿射线 $l$ 方向的方向导数，记作

\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0}.

这个极限是单侧的： $P$ 只能沿射线从 $P_0$ 向外移动， $\rho>0$ 且 $\rho\to0^+$ 。因此方向导数依赖射线的指向，沿相反射线求出的结果一般与原值不同。

取 $l$ 为 $x$ 轴正向，此时 $\alpha=0$ 、 $\beta=\pi/2$ ，差商是

\frac{f(x_0+\rho,y_0)-f(x_0,y_0)}{\rho},

极限为 $f_x(x_0,y_0)$ 。同理，取 $y$ 轴正向得到 $f_y(x_0,y_0)$ 。若相应偏导数存在，它等于沿该坐标轴正方向的方向导数；反过来仅有单侧方向导数不能保证双侧偏导数存在。

若 $f$ 在点 $P_0$ 可微，则 $f$ 在 $P_0$ 沿任一方向 $l$ 的方向导数都存在，且

\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0} =f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta .

证明

由可微性，把 $\Delta x=\rho\cos\alpha$ 、 $\Delta y=\rho\cos\beta$ 代入全增量：

\Delta z=f_x(x_0,y_0)\,\rho\cos\alpha +f_y(x_0,y_0)\,\rho\cos\beta+o(\rho).

两边除以 $\rho>0$ ，得

\frac{\Delta z}{\rho} =f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta +\frac{o(\rho)}{\rho}.

令 $\rho\to0$ ，最后一项趋于 $0$ ，即得所述公式。

对三元函数 $u=f(x,y,z)$ ，若 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 可微，方向 $l$ 的方向余弦为 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ ，则

\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{P_0} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma,

其中三个偏导数都在 $P_0$ 取值。方向余弦仍满足

\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.

沿给定方向的方向导数： $f(x,y)=xy$ 在 $(1,2)$ 处

$f_x=y$ ， $f_y=x$ ，在 $(1,2)$ 处 $f_x=2$ ， $f_y=1$ 。

取方向 $l$ 的方向余弦为 $\cos\alpha=3/5$ 、 $\cos\beta=4/5$ ，这是一个单位方向。于是

\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(1,2)} =2\cdot\frac35+1\cdot\frac45=2 .

梯度为 $\nabla f(1,2)=(2,1)$ ， $|\nabla f(1,2)|=\sqrt5$ 。所以在这一点方向导数的最大值是 $\sqrt5$ ，当 $l$ 与向量 $(2,1)$ 同向时取到。

三元函数的方向导数： $u=x^2+y^2+z^2$ 在 $(1,1,1)$ 处

$\nabla u=(2x,2y,2z)$ ，在 $(1,1,1)$ 处为 $(2,2,2)$ 。沿单位方向 $\dfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ ，

\frac{\partial u}{\partial l} =\frac{1}{\sqrt3}(2+2+2)=2\sqrt3 .

这个方向与梯度同向，所以上式就是该点方向导数的最大值。沿单位方向 $\dfrac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$ 与梯度垂直，方向导数为 $2-2=0$ 。

旋转单位方向，计算同一点的方向导数。

正在准备演示…

题集

$f(x,y)=xy$ 在点 $(1,1)$ 处沿 $x$ 轴负方向的方向导数为。
参考解答
沿 $x$ 轴负方向的单位向量是 $(-1,0)$ ，所以方向导数为 $f_x\cdot(-1)+f_y\cdot0=-1$ 。也可按定义直接计算： $f(1-\rho,1)-f(1,1)=-\rho$ ，除以 $\rho$ 后取极限同样得到 $-1$ 。