条件极值与拉格朗日乘数法

定义

无条件极值问题只要求自变量落在定义域内，称为无条件极值。若还要求自变量满足附加约束，例如点必须在一条确定的曲线或一张确定的曲面上，对应的极值称为条件极值。

求 $z=f(x,y)$ 在约束 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值点，常用拉格朗日乘数法。它的做法是引入参数 $\lambda$ ，构造拉格朗日函数

L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y),

其中 $\lambda$ 称为拉格朗日乘子，再用乘子方程寻找候选点。若约束函数在候选点可微且梯度非零，约束极值点必须满足这些方程； $L$ 作为所有变量的函数不必在该点取得无条件极值。

构造拉格朗日函数

把约束写成 $\varphi(x,y)=0$ ，取 $L=f+\lambda\varphi$ 。
令一阶偏导数全为零

解方程组
$\begin{cases} L_x=f_x+\lambda\varphi_x=0,\\ L_y=f_y+\lambda\varphi_y=0,\\ L_\lambda=\varphi(x,y)=0. \end{cases}$
解出候选点并判断

方程组给出正则约束上的候选点；约束梯度为零的点和约束集合的边界也要单独检查。再根据问题的实际意义、边界上的取值或更高阶的条件，确定它是否为极值或最值。

方法可以直接推广到三元及更多元的函数，也可以处理多个约束：每个约束乘一个乘子，把所有 $\lambda_j\varphi_j$ 都加进 $L$ 。

拉格朗日乘数法： $f(x,y)=xy$ 在 $x+y=1$ 上

约束为 $\varphi(x,y)=x+y-1=0$ 。构造

L=xy+\lambda(x+y-1),

令

\begin{cases} L_x=y+\lambda=0,\\ L_y=x+\lambda=0,\\ L_\lambda=x+y-1=0. \end{cases}

前两式给出 $x=y$ ，代入第三式得 $x=y=\tfrac12$ ，此时 $f=\tfrac14$ 。沿约束 $y=1-x$ ，函数化为 $f=x(1-x)$ ，这是以 $x=\tfrac12$ 为顶点、开口向下的抛物线，所以 $\tfrac14$ 是约束下的最大值。

沿直线x + y = 1比较xy的取值。

正在准备演示…