偏导数

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。固定 $y=y_0$，让 $x$ 在 $x_0$ 处变化。若极限

存在，则称它为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数。

同样，固定 $x=x_0$，若极限

存在，则称它为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数。

两个极限都存在时，$f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数存在。若 $f$ 在区域 $D$（连通的开集）内每一点都有对 $x$ 的偏导数，则这个对应关系构成 $D$ 上的函数，称为 $f$ 对 $x$ 的偏导函数，也简称偏导数。

对 $x$ 的偏导数有以下等价写法：

对 $y$ 的偏导数把 $x$ 换成 $y$：

写偏导函数时省略下标中的点，记作 $f_x$、$\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 或 $z_x$。

求 $z=f(x,y)$ 对某个变量的偏导数时，把其余变量看作常数，按一元函数的求导公式计算。

• 对 $x$ 求偏导：把 $y$ 视为常数。
• 对 $y$ 求偏导：把 $x$ 视为常数。

若 $f_x$ 与 $f_y$ 仍是 $x,y$ 的函数，则它们对 $x$、$y$ 的偏导数称为 $f$ 的二阶偏导数。二元函数共有四个二阶偏导数：

$f_{xx}$ 与 $f_{yy}$ 称为纯偏导数，$f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 称为混合偏导数。写法上 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$ 表示先对 $x$ 求偏导、再对 $y$ 求偏导，与 $f_{xy}$ 的顺序一致。

若 $f$ 的两个二阶混合偏导数 $f_{xy}$ 与 $f_{yx}$ 在点 $(x,y)$ 处连续，则在该点

只要函数足够光滑，例如初等函数在其定义区域内，求导的先后顺序就不影响结果。注意，这个结论的前提是两个混合偏导数在该点连续，条件不成立时不能默认 $f_{xy}=f_{yx}$。

固定 $y=y_0$，曲面 $z=f(x,y)$ 与平面 $y=y_0$ 的交线是平面曲线 $z=f(x,y_0)$。$f_x(x_0,y_0)$ 就是这条曲线在点 $P_0(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处的切线对 $x$ 轴的斜率。同理，$f_y(x_0,y_0)$ 是平面 $x=x_0$ 截出的曲线在 $P_0$ 处的切线对 $y$ 轴的斜率。

一元函数可导必连续，多元函数没有这条性质：即使两个偏导数都存在，也未必连续。$f_x$ 与 $f_y$ 只描述沿两条坐标方向的变化，其他方向上的行为没有被约束。下面的例子给出这种情形。