曲面的切平面与法线

定义

过曲面上点 $P_0$ 且在该点与曲面相切的平面，称为切平面；过 $P_0$ 且垂直于切平面的直线，称为法线。切平面的法向量称为曲面在 $P_0$ 处的法向量。

设曲面由 $F(x,y,z)=0$ 给出， $F$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，且

\nabla F(P_0)=(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0))\ne\mathbf 0 .

则曲面在 $P_0$ 处的法向量为

\mathbf n=(F_x,F_y,F_z)|_{P_0},

切平面方程为

F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0,

法线方程为

\frac{x-x_0}{F_x(P_0)} =\frac{y-y_0}{F_y(P_0)} =\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}.

这里的 $\nabla F$ 就是 $F$ 的梯度，由三个偏导数组成。当 $\nabla F(P_0)=\mathbf 0$ 时，上述结论需要有额外的奇点分析， $P_0$ 可能是曲面上的奇点。

设曲面由 $z=f(x,y)$ 给出。令

F(x,y,z)=f(x,y)-z,

就把显式曲面写成了隐式方程 $F=0$ 。此时

F_x=f_x,\qquad F_y=f_y,\qquad F_z=-1,

所以法向量为

\mathbf n=(f_x,f_y,-1)|_{P_0}.

切平面方程为

z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),

法线方程为

\frac{x-x_0}{f_x} =\frac{y-y_0}{f_y} =\frac{z-z_0}{-1}.

球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处

取 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14$ ，则

\mathbf n=(2x,2y,2z)|_{(1,2,3)}=(2,4,6),

取与它平行的 $(1,2,3)$ 作 $\mathbf n$ 。切平面为

1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0,

即 $x+2y+3z=14$ 。法线为

\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}.

抛物面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处

$f_x=2x$ 、 $f_y=2y$ ，在 $(1,1)$ 处都等于 $2$ ，所以法向量为

\mathbf n=(2,2,-1).

切平面为

z-2=2(x-1)+2(y-1),

即 $2x+2y-z=2$ 。法线为

\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}.

改变抛物面的切点，查看线性近似。

正在准备演示…

题集