多元函数在区域上的最值

有界闭区域上的最值：$f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上

区域内部只有驻点 $(0,0)$，$f(0,0)=0$。边界是单位圆，在边界上 $f=1$。比较所有候选值，最大值为 $1$（边界上每一点都取到），最小值为 $0$（在原点取到）。

若把区域换成开圆盘 $x^2+y^2<1$，最小值仍是 $0$，但最大值不存在：函数值可以任意接近 $1$，却取不到 $1$。这说明最值定理要求区域有界且闭。