多元函数的极限 · Learning Notes

定义

设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义。若对任意给定的 $\epsilon>0$ ，总存在 $\delta>0$ ，使得当 $P\in\mathring U(P_0,\delta)$ 时恒有

|f(x,y)-A|<\epsilon,

则称常数 $A$ 为 $f(x,y)$ 当 $P\to P_0$ 时的极限，也称二重极限，记作

\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A,

也写作 $\lim_{P\to P_0}f(P)=A$ 。

定义要求 $P$ 以任何方式趋近 $P_0$ 时函数值都趋于同一个 $A$ 。平面上趋近一点的方式有无穷多种：沿直线、沿抛物线、绕着点转圈逼近，都算。因此只要找到两条路径给出不同的极限值，就能断定二重极限不存在。

沿不同路径得到不同的值： $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$

在 $(0,0)$ 的去心邻域内 $f$ 有定义。沿直线 $y=kx$ （ $x\ne 0$ ）趋近：

f(x,kx)=\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}.

沿 $x$ 轴（ $k=0$ ）得到 $0$ ，沿 $y=x$ （ $k=1$ ）得到 $1/2$ 。两条路径的极限不同，所以 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 不存在。

沿y = mx逼近原点，比较路径上的函数值。

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题集

$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=$ 。
参考解答
当 $(x,y)\ne(0,0)$ 时
$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le |y|,$
而 $|y|\to 0$ ，由夹逼得极限为 $0$ 。