空间曲线的切线与法平面

定义

过曲线上点 $P_0$ 且方向为切向量 $\mathbf T$ 的直线，称为曲线在 $P_0$ 处的切线；过 $P_0$ 且垂直于切线的平面，称为法平面。法平面的法向量就是 $\mathbf T$ ，所以求出切向量后，两个方程都能立刻写出。

若曲线由

\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t) \end{cases}

给出，点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 对应参数 $t_0$ ，则切向量为

\mathbf T=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)).

切线方程为

\frac{x-x_0}{x'(t_0)} =\frac{y-y_0}{y'(t_0)} =\frac{z-z_0}{z'(t_0)},

法平面方程为

x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 .

若曲线由两个曲面的交线给出：

\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0, \end{cases}

且 $F$ 、 $G$ 在 $P_0$ 附近具有连续偏导数，则曲线在 $P_0$ 处的切向量同时垂直于两个曲面的法向量

\mathbf n_F=(F_x,F_y,F_z)|_{P_0}, \qquad \mathbf n_G=(G_x,G_y,G_z)|_{P_0}.

因此可取

\mathbf T=\mathbf n_F\times\mathbf n_G =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ F_x & F_y & F_z\\ G_x & G_y & G_z \end{vmatrix}_{P_0}.

设 $\mathbf T=(T_x,T_y,T_z)$ ，把参数方程情形中切线方程与法平面方程里的 $x'(t_0)$ 、 $y'(t_0)$ 、 $z'(t_0)$ 依次换成 $T_x$ 、 $T_y$ 、 $T_z$ ，就得到一般情形的两个方程。

证明

设曲线在 $P_0$ 附近可以参数化为 $(x(t),y(t),z(t))$ ，且 $(x(t_0),y(t_0),z(t_0))=P_0$ 。因为曲线落在曲面 $F=0$ 上，对 $t$ 恒有

F(x(t),y(t),z(t))=0 .

对 $t$ 求导并令 $t=t_0$ ，得

F_x x'(t_0)+F_y y'(t_0)+F_z z'(t_0)=0,

即 $\mathbf n_F\cdot\mathbf T=0$ 。同理 $\mathbf n_G\cdot\mathbf T=0$ ，所以 $\mathbf T$ 与两个法向量都垂直，方向由叉积确定。

螺旋线 $\mathbf r(t)=(\cos t,\sin t,t)$ 在 $t=\pi/2$ 处

点 $P_0=(0,1,\pi/2)$ ，导向量为

\mathbf r'(t)=(-\sin t,\cos t,1),

在 $t=\pi/2$ 处 $\mathbf T=(-1,0,1)$ 。切线为

\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-\pi/2}{1},

即 $y=1$ 且 $x+z=\pi/2$ 。法平面为

-(x-0)+0\cdot(y-1)+\left(z-\frac{\pi}{2}\right)=0,

即 $z-x=\dfrac{\pi}{2}$ 。

交线 $x^2+y^2+z^2=6$ 与 $x-y+z=4$ 在点 $(1,-2,1)$ 处

点 $(1,-2,1)$ 同时满足两个方程。两个曲面的法向量为

\mathbf n_F=(2x,2y,2z)|_{(1,-2,1)}=(2,-4,2), \qquad \mathbf n_G=(1,-1,1),

于是

\mathbf T=\mathbf n_F\times\mathbf n_G =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ 2 & -4 & 2\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} =(-2,0,2).

取与之平行的 $\mathbf T=(-1,0,1)$ 。切线为

\frac{x-1}{-1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{1},

即 $y=-2$ 且 $x+z=2$ 。法平面为

-(x-1)+0\cdot(y+2)+(z-1)=0,

即 $z=x$ 。

查看参数曲线在不同点的切向量。

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题集

曲线 $\mathbf r(t)=(t,t^2,t^3)$ 在 $t=1$ 处的法平面是 $x+2y+3z=$ 。
参考解答
$\mathbf r'(t)=(1,2t,3t^2)$ ，在 $t=1$ 处 $\mathbf T=(1,2,3)$ ，对应点为 $P_0(1,1,1)$ 。法平面为 $(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0$ ，即 $x+2y+3z=6$ 。
曲线由 $x^2+y^2+z^2=6$ 与 $x-y+z=4$ 的交线给出，它在点 $(1,-2,1)$ 处的一个切向量是：
选择答案
A
$(-1,0,1)$
B
$(2,-4,2)$
C
$(1,-1,1)$
D
$(3,-5,3)$
参考解答
两个曲面的法向量分别是 $(2,-4,2)$ 与 $(1,-1,1)$ ，叉积为 $(-2,0,2)$ ，与 $(-1,0,1)$ 平行。B、C分别是两个曲面的法向量，不沿交线方向；D是两个法向量之和，也不是叉积。