多元复合函数的求导法则

设 $u=u(t)$、$v=v(t)$ 都在点 $t$ 可导，$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u(t),v(t))$ 处可微，则复合函数 $z=f[u(t),v(t)]$ 在点 $t$ 可导，且

这里 $z$ 最终只依赖一个自变量 $t$，所以左边用全导数记号 $\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$，而不是偏导数。

设 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 都在点 $(x,y)$ 处具有对 $x$、$y$ 的偏导数，$z=f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处可微，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处对 $x$、$y$ 的偏导数存在，且

从 $z$ 到 $x$ 有两条路径，即 $z\to u\to x$ 与 $z\to v\to x$，两条路径的乘积相加就是第一式；对 $y$ 同理。

若 $z=f(u,v,x)$，其中 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$，则 $x$ 既是中间变量的自变量，又直接出现在 $f$ 的自变量中。此时

最后一项 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 是把 $u$、$v$ 固定，只对 $f$ 的显式自变量 $x$ 求导的结果；前两项来自 $x$ 通过 $u$、$v$ 产生的间接影响。对 $y$ 的偏导数没有显式项，仍按两条路径相加。

先证第一种情形，后两种按同样的方法处理。

记 $u_0=u(t)$、$v_0=v(t)$，$\Delta u=u(t+\Delta t)-u(t)$，$\Delta v=v(t+\Delta t)-v(t)$，$\rho=\sqrt{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2}$。

因为 $f$ 在 $(u_0,v_0)$ 处可微，

两边除以 $\Delta t\ne0$：

$u$、$v$ 在 $t$ 处可导，因此也在 $t$ 处连续，$\Delta t\to0$ 时 $\Delta u\to0$、$\Delta v\to0$，从而 $\rho\to0$。又

有界，因为两个差商分别趋于 $u'(t)$ 与 $v'(t)$；而 $\dfrac{o(\rho)}{\rho}\to0$，所以

于是 $\dfrac{\Delta z}{\Delta t}$ 的极限存在，且

对第二种情形，把 $y$ 看作常数，$u$、$v$ 就成为 $x$ 的一元函数，套用上面的结论即得 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 的公式；对 $y$ 同理。

对第三种情形，固定 $y$，把 $x$ 看作唯一变量。由 $f$ 可微，

除以 $\Delta x$ 后，$\dfrac{o(\rho)}{\Delta x}\to0$ 的理由同上：此时 $\dfrac{\rho}{|\Delta x|}$ 仍有界。于是得到含三项的公式。

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当复合函数的最终自变量只有一个时，因变量对这个自变量的导数称为全导数。上面的第一种情形给出的就是全导数：

它表示 $t$ 变化时，通过所有中间路径传到 $z$ 的总变化率。偏导数只让一个自变量变化，全导数则允许所有中间变量随 $t$ 一起变化。

设 $z=f(u,v)$ 可微。

1. 若 $u$、$v$ 是独立自变量，则 $$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v .$$
2. 若 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 是可微的中间变量，则把 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 按全微分展开后，仍有 $$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v .$$

第二种情形的验证：由链式法则，

于是

所以无论 $u$、$v$ 是自变量还是中间变量，$z=f(u,v)$ 的全微分都写成同一个形式，这就是全微分形式不变性。第二种情形中的 $\mathrm{d}u$、$\mathrm{d}v$ 是中间变量的微分，不再是自变量的增量。