全微分

设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。本页用 $\Delta x$、$\Delta y$ 表示自变量的增量，并记

即点 $(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$ 到 $(x_0,y_0)$ 的距离。$f$ 对 $x$ 的偏导数记作

求这个极限时 $y$ 固定不变；$\dfrac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)$ 类似，求值时 $x$ 固定不变。

只让一个自变量变化，得到的函数值改变量称为偏增量：

当偏导数存在时，偏增量的线性主部称为偏微分：

其中 $\mathrm{d}_x z$ 只计入 $x$ 方向的变化，$\mathrm{d}_y z$ 只计入 $y$ 方向的变化。

两个自变量同时产生增量 $\Delta x$、$\Delta y$ 时，函数值的总改变量称为全增量：

若存在与 $\Delta x$、$\Delta y$ 无关的常数 $A$、$B$，使得

则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，并把线性部分

称为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的全微分。$o(\rho)$ 表示比 $\rho$ 高阶的无穷小，所以 $\mathrm{d}z$ 是全增量的线性主部：$\rho$ 足够小时，$\Delta z\approx\mathrm{d}z$。

与一元情形一样，规定自变量的微分就是它的增量，即 $\mathrm{d}x=\Delta x$、$\mathrm{d}y=\Delta y$。由下文可微的必要条件，可微时 $A=f_x(x_0,y_0)$、$B=f_y(x_0,y_0)$，因此全微分通常写成

若 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则

1. $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续；
2. $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处存在两个偏导数，且 $A=f_x(x_0,y_0)$、$B=f_y(x_0,y_0)$。

这两个条件都只是可微的必要条件。连续不能保证偏导数存在，偏导数存在也不能保证连续，更不能保证可微。

若 $f_x$ 与 $f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在，并且都在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。

一元函数中可导与可微等价，所以三个概念只有“连续”和“可导”两层。二元函数中可微最强，它同时推出连续与偏导数存在；连续与偏导数存在之间互不蕴含，两个方向都有反例。例如 $f(x,y)=|x|$ 处处连续，但 $x=0$ 处的 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ 不存在；下面的例子则给出偏导数存在却不连续的函数。一元函数的微分见微分与线性近似。

可微时 $A=f_x$、$B=f_y$，全微分可以拆成两个偏微分之和：

在 $\rho$ 足够小的范围内，两个自变量同时变化引起的函数值变化，可以近似看成每个自变量单独变化所引起的线性变化之和，这就是全微分的叠加原理。