梯度

设 $f$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数。对每一点 $P(x,y)\in D$，把该点的两个偏导数排成一个向量

称它为 $f$ 在点 $P$ 的梯度。三元函数 $u=f(x,y,z)$ 的梯度为

记号 $\nabla$ 读作Nabla，称为向量微分算子，也叫哈密顿算子：

它是一个运算符号，作用在标量函数 $f$ 上直接得到 $f$ 的梯度。

梯度是向量，其模为

三元时根号内再加 $f_z^2$。梯度为零向量等价于两个（或三个）一阶偏导数同时为零。

把方向余弦写成单位向量 $\mathbf e_l=(\cos\alpha,\cos\beta)$，方向导数的计算公式就是梯度与 $\mathbf e_l$ 的内积：

其中 $\theta$ 是 $\nabla f(P_0)$ 与 $\mathbf e_l$ 的夹角。设 $\nabla f(P_0)\ne\mathbf 0$，由 $\cos\theta$ 的取值范围得到三条结论：

1. 当 $\theta=0$，即 $l$ 取梯度方向时，方向导数最大，最大值为 $|\nabla f(P_0)|$。函数在 $P_0$ 沿梯度方向增加最快。
2. 当 $\theta=\pi$，即 $l$ 取梯度的反方向时，方向导数最小，最小值为 $-|\nabla f(P_0)|$，函数沿这个方向减小最快。
3. 当 $\theta=\pi/2$ 时，方向导数为 $0$。与梯度垂直的方向上，函数值的一阶变化为零。

二元函数 $z=f(x,y)$ 的方程

在 $xy$ 平面上确定的曲线称为 $f$ 的等值线，等值线上各点的函数值都等于 $C$。若 $f$ 可微且 $\nabla f(x,y)\ne\mathbf 0$，则 $\nabla f(x,y)$ 是等值线在点 $(x,y)$ 处的法向量，并且指向函数值增大的方向。

之所以是法向量：沿等值线的切线方向，函数值不变，方向导数为零；而方向导数是梯度与单位切向量的内积，所以梯度与切线垂直。

三元函数 $u=f(x,y,z)$ 的方程 $f(x,y,z)=C$ 表示空间中的一张曲面，称为等值面，等值面上各点的函数值相同。同样地，$\nabla f(x,y,z)$ 是等值面在该点的法向量。