多元函数的局部极值

只对 $x$ 论证。固定 $y=y_0$，令 $g(x)=f(x,y_0)$。$g$ 在 $x_0$ 处可导，且由 $f$ 在 $P_0$ 取得极值可知 $x_0$ 是 $g$ 的极值点。由一元函数的费马引理（见费马引理），$g'(x_0)=0$，即

对 $y$ 的偏导数同理。

把 $P_0$ 处的函数值增量按二阶泰勒公式展开（见泰勒公式）。$P_0$ 是驻点，一阶项为零，所以

其中 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$。令 $\Delta x=\rho\cos\theta$、$\Delta y=\rho\sin\theta$，则

二次型 $Q(h,k)=Ah^2+2Bhk+Ck^2$ 的矩阵行列式为 $AC-B^2=\Delta$。

• 当 $\Delta>0$、$A>0$ 时，$Q$ 正定，$g(\theta)$ 在单位圆上有正的下界，于是 $\rho$ 充分小时 $\Delta z>0$，$P_0$ 是极小值点。
• 当 $\Delta>0$、$A<0$ 时，$Q$ 负定，同理 $\Delta z<0$，$P_0$ 是极大值点。
• 当 $\Delta<0$ 时，$Q$ 不定，存在方向使 $g(\theta)>0$，也存在方向使 $g(\theta)<0$。在 $P_0$ 的任意小邻域内，函数值既有大于 $f(P_0)$ 的，也有小于 $f(P_0)$ 的，所以 $P_0$ 不是极值点。

$\Delta=0$ 时 $g(\theta)$ 可能非负、非正或恒为零，符号由 $o(\rho^2)$ 决定，因此这个定理不能判定。