平面点集与邻域

多元函数的自变量是平面上的点，定义域和极限都要在平面点集上讨论。本页用 $P(x,y)$ 表示平面上的点，两点之间的距离取欧氏距离

设 $P_0(x_0,y_0)$ 是平面上一点，$\delta>0$。满足

的点 $P$ 的全体称为 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(P_0,\delta)$。几何上它是 $P_0$ 为圆心、$\delta$ 为半径的圆盘内部，不含圆周。

在邻域中去掉中心点，得到的集合

称为 $P_0$ 的去心邻域，记作 $\mathring U(P_0,\delta)$。

设 $E$ 是平面点集，$P$ 是平面上一点。

• 内点：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\subset E$。
• 外点：存在 $P$ 的某个邻域 $U(P)$，使 $U(P)\cap E=\varnothing$。
• 边界点：$P$ 的任何邻域内都既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点。
• 边界：$E$ 的全部边界点构成的集合，记作 $\partial E$。
• 聚点：对任意 $\delta>0$，去心邻域 $\mathring U(P,\delta)$ 内总含有 $E$ 中的点。

• 开集：$E$ 中的点全是内点。
• 闭集：$E$ 的补集是开集；等价地，$E$ 包含它的全部聚点。
• 连通集：$E$ 不能分成两个非空、互不相交且在 $E$ 的相对拓扑中都开集的部分。对开集，连通等价于任意两点可用完全属于该集合的折线连接。
• 区域（开区域）：连通的开集。
• 闭区域：开区域 $D$ 与它的边界之并，记作 $\bar D=D\cup\partial D$。
• 有界集：存在以原点为圆心的圆盘，能把 $E$ 整个包含在内。
• 无界集：不是有界集的点集。

设 $n$ 是正整数。全部 $n$ 元有序实数组 $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 构成的集合，连同其中定义的加法、数乘，以及两点

之间的距离

构成的空间称为 $n$ 维空间，记作 $\mathbb R^n$。$n=2$ 时它是坐标平面，$n=3$ 时它是通常的几何空间。以下只讨论二元函数，但极限与连续性的定义可以逐字推广到 $\mathbb R^n$。