2.1随机变量及其分布函数

设随机试验的样本空间为 $\Omega$。随机变量 $X$ 将每个样本点 $\omega$ 映射为一个实数 $X(\omega)$，并且对每个实数 $x$，集合 $\{\omega:X(\omega)\le x\}$ 都是事件，因此可以计算其概率。

随机变量是函数，$X(\omega)$ 是一次结果对应的数值；同一个随机变量在不同试验结果下可以取不同值。每个结果必须有确定的对应值，但不同结果可以映射为同一个数。

设 $X$ 是随机变量。对任意实数 $x$，$\{X\le x\}$ 表示使 $X(\omega)\le x$ 的所有样本点组成的集合，它是一个事件。分布函数定义为

分布函数在全体实数上有定义，并且只由概率决定，所以离散型、连续型和混合型随机变量都可以用它描述，不需要事先假定存在分布律或概率密度。

设 $F$ 是随机变量 $X$ 的分布函数。

1. 单调不减：若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1)\le F(x_2)$。
2. 右连续：$F(x+0)=F(x)$，即 $\lim_{t\to x^+}F(t)=F(x)$。左极限 $F(x-0)=\lim_{t\to x^-}F(t)$ 存在，但可以不等于 $F(x)$。
3. 两端极限：$F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，$F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$。

右连续与左极限：当 $x_n\downarrow x$ 时，事件 $\{X\le x_n\}$ 单调减少，其交为 $\{X\le x\}$，于是 $F(x_n)\to F(x)$，这就是右连续。当 $x_n\uparrow x$ 时，事件 $\{X\le x_n\}$ 单调增加，其并为 $\{X<x\}$，所以

由单调性和两端极限还可得到 $0\le F(x)\le 1$。

对任意 $a<b$，区间概率都能写成 $F$ 在端点处取值之差。记 $F(a-0)=\lim_{x\uparrow a}F(x)$，则

单点概率等于分布函数在该点的跳跃高度：

尾概率可以写为

此外，$P\{X<x\}=F(x-0)$。

离散型与连续型随机变量都可用分布函数描述；连续的分布函数不一定有概率密度。