课程笔记

2.4随机变量函数的分布

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分布函数法直接按定义计算 $P\{g(X)\le y\}$ ，不要求 $g$ 单调，对离散型和连续型都适用；下面两个密度公式也都能由它推出。

确定 $Y$ 的取值范围

由 $X$ 的取值范围和 $g$ 的对应关系，先写出 $Y$ 可能取到哪些值。范围之外 $F_Y$ 分别取 $0$ 或 $1$ ，密度取 $0$ 。
写出 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$

这一步只是套定义，先把分布函数写出来，再处理后一个不等号。
把不等式化成关于 $X$ 的事件

$\{g(X)\le y\}$ 等价于 $X$ 落在某个集合上。对连续型，这个集合通常是若干区间；用 $F_X$ 或对 $f_X$ 积分即可算出概率。
需要密度时再求导

在 $F_Y$ 可导的点取 $f_Y(y)=F_Y'(y)$ ，并补上取值范围外的零值。

四步里最容易省掉的是第一步：先写 $Y$ 的取值范围，范围外的分布函数和密度就都有了默认值。

设 $X$ 是连续型随机变量，密度为 $f_X$ ，取值落在区间 $I$ 内。若 $g$ 在 $I$ 上严格单调、可微，且存在可微的反函数 $x=h(y)$ ，则 $Y=g(X)$ 也是连续型随机变量，在变换后的取值范围内

f_Y(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.

绝对值不能省略。 $g$ 严格递增时 $h'(y)>0$ ，严格递减时 $h'(y)<0$ ，而密度必须非负；取绝对值后两种情形使用同一个式子。

证明

设 $g$ 在 $I$ 上严格递增，则反函数 $h$ 也递增，且

F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le h(y)\}=F_X\bigl(h(y)\bigr).

两边对 $y$ 求导，由链式法则得

f_Y(y)=F_X'\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y).

若 $g$ 严格递减，则 $\{g(X)\le y\}=\{X\ge h(y)\}$ ，于是

F_Y(y)=1-F_X\bigl(h(y)\bigr), \qquad f_Y(y)=-f_X\bigl(h(y)\bigr)\,h'(y)=f_X\bigl(h(y)\bigr)\,\bigl|h'(y)\bigr|.

递增情形中 $h'(y)>0$ ，同样可写成带绝对值的式子。求导在 $F_X$ 可导的点进行；改变密度在有限个点的取值不影响分布。

线性变换：对 $Y=aX+b$ ， $a\ne 0$ ，反函数 $h(y)=\dfrac{y-b}{a}$ ， $h'(y)=\dfrac1a$ ，于是

f_Y(y)=\frac{1}{|a|}\,f_X\!\left(\frac{y-b}{a}\right).

若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ 。 $a=0$ 时 $Y\equiv b$ 是常数， $F_Y$ 在 $b$ 处由 $0$ 跳到 $1$ ， $Y$ 没有密度。

线性变换是这一式的特例， $a<0$ 时绝对值的必要性在 $Y=-X$ 上最明显。代公式前先确认 $g$ 在 $X$ 的取值区间上严格单调。

若 $g$ 在整个取值范围内不单调，但可以分成若干段，使每段上 $g$ 严格单调且可微，反函数分别为 $x_i(y)$ ，则同一 $y$ 处各分支的贡献相加：

f_Y(y)=\sum_i f_X\bigl(x_i(y)\bigr)\left|\frac{\mathrm dx_i}{\mathrm dy}\right|.

这里的分支只计入落在 $X$ 支持集内的那些，支持集指 $f_X>0$ 的取值集合；某个分支在 $y$ 处没有实数值时，它对 $f_Y(y)$ 没有贡献。

对 $g(x)=x^2$ ，当 $y>0$ 时两支为 $x_1(y)=\sqrt y$ 、 $x_2(y)=-\sqrt y$ ，且

\left|\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dy}\right|=\left|\frac{\mathrm dx_2}{\mathrm dy}\right|=\frac{1}{2\sqrt y},

所以

f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y},\qquad y>0,

而 $y\le 0$ 时 $f_Y(y)=0$ 。这个结果也可以先写 $F_Y(y)=P\{-\sqrt y\le X\le\sqrt y\}$ ，再对 $y$ 求导得到。

经典例子是 $g(x)=x^2$ ： $y>0$ 时两支都要算， $y\le 0$ 时密度为零。判断能否用单调变换公式，先看 $g$ 在支持集上是否严格单调。

分布函数法不依赖 $g$ 的形状，并统一处理离散型、单调变换、非单调变换三种情形。后面两个密度公式都能由它推出；其他变换问题也回到这一方法。

建议按下面的顺序读：

本课程用 $F_X$ 、 $f_X$ 表示 $X$ 的分布函数与密度， $Y=g(X)$ 的对应量记作 $F_Y$ 、 $f_Y$ ；求 $Y$ 的分布就是求这两者之一。
单调变换公式中的反函数统一写成 $x=h(y)$ ，密度写作 $f_X(h(y))|h'(y)|$ ，绝对值不换成 $h'(y)$ 。
线性变换 $Y=aX+b$ 单独记住因子 $\dfrac{1}{|a|}$ ； $a=0$ 时 $Y$ 退化为常数，没有密度。

复习时可按一条检查链整理：先写 $Y$ 的范围 → 再写 $F_Y(y)=P\{g(X)\le y\}$ → 化成关于 $X$ 的区间 → 求导 → 用“非负、积分为 $1$ 、范围一致”三条自检。分段条件是常见漏项，应在最后一步核对。