8.4分布拟合检验

把样本结果划分为 $k$ 个互斥且完备的类别，第 $i$ 类的观察频数记为 $O_i$。原假设下第 $i$ 类的概率为 $p_i$，样本量为 $n$，则期望频数为

卡方拟合优度统计量定义为

若原假设完全指定了各类概率，并且样本满足大样本近似条件，则

$Q$ 衡量观察频数偏离期望频数的程度：$Q=0$ 当且仅当每类都有 $O_i=E_i$，$Q$ 越大，数据与假设分布越不一致。因此检验只在右尾拒绝：

这里的 $\chi^2_\alpha(\nu)$ 是上 $\alpha$ 分位点，满足 $P\{\chi^2(\nu)>\chi^2_\alpha(\nu)\}=\alpha$，记号与上侧分位点一致。

若假设分布中有 $r$ 个独立参数由同一样本适当估计，在常用正则条件及相应估计方法下，使用近似自由度

例如拟合参数未知的泊松分布通常减去 $1$；拟合均值、方差均未知的正态分布通常减去 $2$。分组后估计参数的方法应与所用卡方近似相匹配，不能对任意估计方法都无条件套该规则。

卡方近似要求期望频数不能过小。入门计算通常要求各组期望频数不小于 $5$；这是一种常用的保守规则，不是精确的适用性分界。

连续分布需要分组。若组边界为

则第 $i$ 组的理论概率为

其中 $F$ 是原假设下的分布函数。尾部不能遗漏：第一组从 $-\infty$ 到 $a_1$，最后一组从 $a_{k-1}$ 到 $+\infty$。拟合泊松分布时，最后一组常取“$m$ 次及以上”，而不是在最大观察值处截断概率。

稀疏类别可以合理合并；合并后要重新计算期望频数与自由度。若原假设给某类别零概率，而该类别出现正频数，原假设已经与数据直接矛盾，不能计算除以零的项。

同一套“观察频数对期望频数”的比较也可以检验两个分类变量是否独立。对 $r\times c$ 列联表，记第 $(i,j)$ 格的观察频数为 $O_{ij}$，第 $i$ 行合计为 $O_{i\cdot}$，第 $j$ 列合计为 $O_{\cdot j}$，总频数为 $n$。独立假设下的期望频数为

统计量仍为

仍为右尾检验，并同样检查期望频数是否过小。拟合优度检验的自由度由类别数与所估参数决定；列联表独立性检验的自由度为 $(r-1)(c-1)$，不要套用 $k-1-r$。