2.3连续型随机变量 · Learning Notes

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若存在非负可积函数 $f$ ，使随机变量 $X$ 的分布函数可以写成

F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,\mathrm dt,\qquad -\infty<x<+\infty,

则称 $X$ 为连续型随机变量， $f$ 称为 $X$ 的概率密度函数，简称密度。

密度满足

f(x)\ge 0,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\mathrm dx=1.

对任意 $a<b$ ，区间概率由密度积分给出：

P\{a<X<b\}=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

在 $f$ 的连续点处有 $F'(x)=f(x)$ 。改变 $f$ 在有限个点处的取值不改变积分，也不改变分布。

求密度中的未知系数时，必须同时检查非负性与总积分为 $1$ ，不能只用其中一个条件。

教材用积分把密度与分布函数连起来，所以区间概率只需对 $f$ 积分；后面三个分布的差别主要在支持集与密度形状。

设 $a<b$ ， $X\sim U[a,b]$ 。它的密度在 $[a,b]$ 上为常数，分布函数在区间内线性增长：

f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a},&a<x<b,\\0,&\text{其他},\end{cases} \qquad F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\\dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b,\\1,&x\ge b.\end{cases}

设 $X\sim E(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0$ 。密度与分布函数为

f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0,\end{cases} \qquad F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\0,&x<0.\end{cases}

设 $\sigma>0$ ， $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 。密度为

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right], \qquad -\infty<x<+\infty.

正态的密度写不出初等分布函数，所以本节只能用 $\Phi$ 查表；均匀与指数则可以由密度直接积分。

教材先建立密度与分布函数的关系，再依次讨论均匀、指数、正态三种分布。均匀分布用来熟悉“概率等于长度比”的积分计算；指数分布的无记忆性可以与离散部分的几何分布对照；正态分布是本章重点，标准化是后续查表和统计推断的基础。

阅读顺序上，先弄清密度的归一化与区间积分，再看三个分布的密度形状和支持集，最后专门练正态标准化。正态部分不要只记密度公式，对称性和标准化才是做题时真正用到的性质。

拿到连续型题目先写支持集和密度，再决定积分区间；正态题先标准化再查表。复习时把三个分布的密度、分布函数和数字特征列成对照表，重点核对正态的标准化与对称性。