3.4随机变量的独立性

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为 $F(x,y)=P\{X\le x,\ Y\le y\}$，两个边缘分布函数分别为 $F_X(x)=P\{X\le x\}$ 与 $F_Y(y)=P\{Y\le y\}$。若对任意实数 $x,y$ 都有

则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。

分布函数等式等价于：对任意可测集合 $A,B$，

按随机变量的类型，判定式可以写成下面的形式：

表中连续型的联合密度指满足 $P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ 的非负函数，$D$ 为任意平面区域。联合分布与边缘分布的完整讨论分别见二维联合分布函数和边缘分布。

$X_1,\ldots,X_n$ 相互独立，当且仅当对任意 $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n$ 都有

连续型相应地要求

几乎处处成立；离散型要求每个格点的联合分布律等于各边缘分布律之积。取 $n=2$ 就是两个随机变量相互独立的定义。

若联合密度在全平面上能写成两个非负函数的乘积

且 $g,h$ 在全平面上的积分都是有限正数，则 $X$ 与 $Y$ 独立。事实上，由 $\iint f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1$ 得 $\left(\int g\right)\left(\int h\right)=1$，而

两式相乘恰好等于 $g(x)h(y)=f(x,y)$。

反过来，独立时联合密度几乎处处等于 $f_X(x)f_Y(y)$，所以判定时只需检查这种乘积形式。

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则对任意函数 $g,h$，$g(X)$ 与 $h(Y)$ 也独立。这是因为 $\{g(X)\in A\}$ 与 $\{h(Y)\in B\}$ 分别是 $\{X\in g^{-1}(A)\}$ 与 $\{Y\in h^{-1}(B)\}$，代回独立性的集合形式即可。

更一般地，相互独立的变量分成两组、且两组互不重叠时，每组变量构成的函数仍相互独立。例如 $X_1,X_2,X_3,X_4$ 相互独立，则 $X_1+X_2$ 与 $X_3X_4$ 独立。

当 $X,Y$ 的二阶矩都存在时，记

若 $X$ 与 $Y$ 独立，则

以连续型为例，独立时 $f=f_Xf_Y$，于是

协方差为零称为 $X$ 与 $Y$ 不相关；当两个方差都为正时，这也等价于相关系数为零。独立一定不相关，反方向一般不成立。

取 $X$ 在 $[-1,1]$ 上均匀分布、$Y=X^2$，则 $E(X)=0$、$E(XY)=E(X^3)=0$，所以 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$；但 $Y$ 完全由 $X$ 决定，两者显然不独立。事件概率的验证见下面的例子。