1.2事件的概率 · Learning Notes

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设 $\Omega$ 是样本空间。对每个事件 $A\subseteq\Omega$ 赋予一个实数 $P(A)$ ，称为事件 $A$ 的概率。它满足以下三条公理：

P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i).

公理只规定这三条，其余性质都由它们推出。

公理只规定三条，补事件公式、单调性与差事件在本课程里都算推论；答题时若要引用，先说明它由哪条公理推出。

对任意两个事件 $A$ 与 $B$ ，

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB).

对三个事件，容斥公式为

\begin{aligned} P(A\cup B\cup C) ={}&P(A)+P(B)+P(C)\\ &-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC). \end{aligned}

加法公式处理的是并事件，古典概型与几何概型则给出两条直接计算的路：前者靠计数，后者靠度量。

若样本空间只含有限个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，则称该试验为古典概型。此时事件 $A$ 的概率为

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},

其中 $|A|$ 与 $|\Omega|$ 分别表示 $A$ 与 $\Omega$ 中样本点的个数。

常用的计数公式为

A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!},\qquad C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!},\qquad 0!=1.

选择计数方式时先看两点：是否区分顺序，是否允许重复。

若样本空间是有限长度、面积或体积的区域 $\Omega$ ，且样本点在 $\Omega$ 中均匀选取，则事件 $A$ 的概率为

P(A)=\frac{\text{区域 }A\text{ 的度量}}{\text{区域 }\Omega\text{ 的度量}}.

这里的度量按问题取长度、面积或体积。

这里要求 $\Omega$ 的度量有限且非零，事件区域也必须可以测量。随机选取不自动意味着均匀，建模时要说明均匀的是位置、角度还是其他参数。

教材先建立概率的三条公理，再由公理推出补事件、单调性与差事件的公式；接着用加法公式处理并事件，最后给出古典概型与几何概型两类可以直接计算的情形。

做题时先判断模型：样本点有限且等可能，用计数；连续均匀选取，用长度、面积或体积的比值；两者都不符合，就回到公理与加法公式。

复习时按“公理 → 性质 → 加法公式 → 概型选择”的顺序检查条件。算完概率后回看是否落在 $[0,1]$ 内，并重点核对有没有把非互斥事件直接相加，以及计数时分子分母的口径是否一致。