8.1假设检验的基本概念

假设检验先对总体参数提出两个互相对立的假设，再用样本判断是否有足够证据拒绝其中一个：

• 原假设 $H_0$：接受检验的基准主张，通常表示“没有差异”“没有效应”，或参数等于某个给定值。
• 备择假设 $H_1$：希望用数据发现证据支持的方向，与原假设互补。

按备择假设的方向，检验分为三类：

检验统计量只由样本决定，并在 $H_0$ 下服从已知分布；使 $H_0$ 被拒绝的样本取值范围称为拒绝域。单侧检验的参考分布通常取在边界 $\theta=\theta_0$ 处：$H_0$ 允许一整段参数值，但常用检验的拒绝概率在边界处最大，控制住边界就控制住整个原假设。检验方向必须依据研究问题在收集数据之前确定，不能看过样本结果后再选择更容易显著的一侧。

检验的结论可能与真实情况不符，有两种错误：

• 第一类错误：$H_0$ 为真却拒绝了 $H_0$，也称“弃真”。其概率通常记为 $\alpha$，由显著性水平控制。
• 第二类错误：$H_0$ 为假却没有拒绝 $H_0$，也称“取伪”。其概率记为 $\beta(\theta)$，依赖真实的参数值 $\theta$。
• 功效：$1-\beta(\theta)$，即 $H_0$ 为假时正确拒绝的概率。真实参数离 $\theta_0$ 越远，功效通常越高。

在复合原假设 $H_0:\theta\in\Theta_0$ 下，“水平为 $\alpha$”的准确含义是对所有 $\theta\in\Theta_0$ 都有

即最坏情形下的第一类错误概率不超过 $\alpha$。

固定样本量时，减小第一类错误通常会使第二类错误增大：把拒绝门槛收紧，真正有差异时也更难拒绝。增加样本量可以在保持 $\alpha$ 不变的前提下降低 $\beta$，提高对固定差异的检验功效。

$p$ 值是在 $H_0$ 成立的前提下，出现与观测结果同样极端或更极端结果的概率。“极端”的方向由备择假设与检验统计量事先规定，不能事后挑选。

若检验统计量在 $H_0$ 下服从标准正态分布，观测值为 $z$，则

其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。本页用 $z_\alpha$ 表示标准正态的上 $\alpha$ 分位点，即 $P\{Z>z_\alpha\}=\alpha$；分位点的完整定义见上侧分位点。一般地，$p$ 值等于“从观测值出发、沿拒绝方向更极端”的那部分概率。若 $p\le\alpha$，则拒绝 $H_0$；连续分布中边界取不取等号不影响概率。