8.3两个正态总体的假设检验

设两组样本分别独立取自正态总体 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$、$N(\mu_2,\sigma_2^2)$，样本量为 $n_1,n_2$，样本均值和方差分别记为 $\bar X,\bar Y,S_1^2,S_2^2$。检验以第一组减第二组或第一组除第二组的顺序书写。

标准误怎么算，取决于两个总体的方差是否已知、是否假定相等。三种情形依次削弱条件。

两个 $\sigma$ 都是已知常数，用

分母是两个样本均值各自标准误的平方和再开方：$\bar X$ 的标准误为 $\sigma_1/\sqrt{n_1}$，$\bar Y$ 的标准误为 $\sigma_2/\sqrt{n_2}$，独立样本的方差可以直接相加。

此时两个总体方差相等，记公共方差为 $\sigma^2$，可以用两组信息合成合并方差

再用它代替未知的 $\sigma^2$：

不假定方差相等时，分母只能直接拼两个样本方差：

例如 $n_1=n_2=10$、$S_1^2=8$、$S_2^2=2$ 时，$S_1^2/n_1=0.8$、$S_2^2/n_2=0.2$，于是

比方差相等时假定的 $n_1+n_2-2=18$ 小得多。两组样本方差和样本量共同影响这个近似自由度。

三种情形只是统计量和自由度不同，拒绝域的形状一致。下表以 $t(\nu)$ 为例，$\nu$ 取 $n_1+n_2-2$（合并 $t$）或Welch自由度；方差已知的 $Z$ 情形把 $t_\alpha(\nu)$ 换成 $z_\alpha$，$\nu$ 不再出现。

检验 $H_0:\sigma_1^2/\sigma_2^2=r_0$，使用

检验方差相等时 $r_0=1$，统计量就是两个样本方差之比。记 $\nu_1=n_1-1$、$\nu_2=n_2-1$，拒绝域为

• 双侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2\ne r_0$：$F<F_{1-\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$ 或 $F>F_{\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$；
• 右侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2>r_0$：$F>F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$；
• 左侧 $\sigma_1^2/\sigma_2^2<r_0$：$F<F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)$。

$F$ 分布不对称，双侧检验必须分别取左右两个临界值，不能写成“绝对值超过某个临界值”。若手头的表只给上侧分位点，用

换算，两个自由度要同时交换位置。

同一对象的前后测量、按特征匹配的个体对，都属于配对设计。两张表看起来是两组数据，但配对内的两个观测不独立，不能套用上面的独立两样本公式。

配对设计先逐对作差：

其中 $n$ 是对数。若 $D_1,\ldots,D_n$ 相互独立且都服从正态分布，则检验均值差 $H_0:\mu_D=\Delta_0$ 就化为单个正态总体的均值检验：

其中 $\bar D$、$S_D$ 分别是差值样本的均值和标准差。