6.2抽样分布

设 $0<\alpha<1$。对随机变量 $W$，若 $w_\alpha$ 满足

则称 $w_\alpha$ 为 $W$ 的上 $\alpha$ 分位点：它右侧的尾概率恰为 $\alpha$。本页用到的四个记号是

其中 $Z\sim N(0,1)$，$T\sim t(\nu)$，$U\sim\chi^2(\nu)$，$V\sim F(\nu_1,\nu_2)$。$\alpha$ 越小，上侧分位点越大，因为要让右侧只剩更小的概率，分位点必须往右移。

双侧区间估计通常把显著性水平分到两侧，各占 $\alpha/2$ 的尾概率，于是用到 $z_{\alpha/2}$ 与 $z_{1-\alpha/2}$ 这样的两个点。

对关于零对称的分布，上侧分位点可以直接换成负号：

例如 $z_{0.975}=-z_{0.025}$，因为标准正态的密度关于零对称。

设 $Z_1,Z_2,\ldots,Z_\nu$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$，则

其中 $\nu$ 称为自由度。它的数字特征为

这两个式子来自单个标准正态变量：$E(Z_i^2)=D(Z_i)=1$，而

再由独立性把 $\nu$ 项相加。

卡方分布只在 $[0,+\infty)$ 上取值，通常不对称，右尾较长。相互独立的卡方变量可以相加，自由度也相加：若 $U_1\sim\chi^2(\nu_1)$ 与 $U_2\sim\chi^2(\nu_2)$ 独立，则 $U_1+U_2\sim\chi^2(\nu_1+\nu_2)$。这里独立性不能省。

设 $Z\sim N(0,1)$，$U\sim\chi^2(\nu)$，且 $Z$ 与 $U$ 相互独立，则

$t$ 分布的密度关于零对称，所以 $t_{1-\alpha}(\nu)=-t_\alpha(\nu)$；自由度增大时它趋近于标准正态，通常 $\nu>30$ 就可用正态近似。

它的矩要按自由度分别讨论：

• $\nu>1$ 时 $E(T)=0$；
• $\nu>2$ 时 $D(T)=\dfrac{\nu}{\nu-2}$；
• $\nu\le1$ 时期望不存在，$\nu=1$ 的 $t$ 分布就是柯西分布；
• $1<\nu\le2$ 时期望存在但方差不存在。

所以小自由度时不能套用不存在的矩，写 $D(T)=\nu/(\nu-2)$ 之前先确认 $\nu>2$。

设 $U\sim\chi^2(\nu_1)$，$V\sim\chi^2(\nu_2)$，其中 $\chi^2(\nu)$ 表示自由度为 $\nu$ 的卡方分布，且两者相互独立，则

$F$ 分布只在非负半轴取值，一般不对称。

它有以下两条常用性质：

这里 $F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$ 表示右侧尾概率为 $\alpha$ 的上侧分位点，一般约定见上侧分位点。交换自由度时，原分布的 $(1-\alpha)$ 分位点要对应交换后的 $\alpha$ 分位点。

分子与分母的自由度顺序不能交换：$F(\nu_1,\nu_2)$ 与 $F(\nu_2,\nu_1)$ 是两个不同的分布。

还有一个与 $t$ 分布的联系：若 $T\sim t(\nu)$，则

设 $X_1,\ldots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本（样本与统计量的记号见简单随机样本与统计量），$n\ge2$，则

并且 $\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立，于是

自由度为 $n-1$，是因为 $n$ 个离差 $X_i-\bar X$ 受约束 $\sum_i(X_i-\bar X)=0$ 的限制，只有 $n-1$ 个可以自由变动。若把中心改为已知的 $\mu$，就没有这个约束，结论变为

设 $X_1,\ldots,X_{n_1}$ 来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ 来自 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$，两个样本相互独立。由单个正态总体的结论，两组样本方差各自给出一个卡方变量，二者独立，相除并按自由度归一后得

若进一步假定两个总体的方差相等，记公共方差为 $\sigma^2$，则可把两组信息合成合并方差

它是一个以 $\sigma^2$ 为期望的加权平均，权重是各自的自由度。此时

自由度是两个样本自由度之和 $(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2$。