课程笔记

3.2边缘分布

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设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，联合分布函数为

F(x,y)=P\{X\le x,\;Y\le y\}.

若只关心 $X$ ，不对 $Y$ 作任何限制，则事件 $\{X\le x\}$ 就是 $\{X\le x,\;Y<+\infty\}$ ，于是

F_X(x)=P\{X\le x\}=F(x,+\infty)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y).

$F_X$ 称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 的边缘分布函数，由它给出的分布称为 $X$ 的边缘分布。同理，

F_Y(y)=F(+\infty,y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y)

是 $Y$ 的边缘分布函数。

式中的 $+\infty$ 表示取极限，不是把 $+\infty$ 当作普通实数代入。边缘分布相当于不再对另一个变量施加限制：无论 $Y$ 取什么值都计入，只看 $X$ 落在哪个范围。离散型与连续型有各自的求法，见下文。

教材用 $F(x,+\infty)$ 把另一个变量“放到最大”，边缘分布因此只保留一个自变量；离散与连续的具体算法放在下一条性质里。

设 $(X,Y)$ 为离散型随机变量，联合分布律为

p_{ij}=P\{X=x_i,\;Y=y_j\},\qquad i,j=1,2,\dots,

行和与列和分别记作

p_{i\cdot}=\sum_{j}p_{ij},\qquad p_{\cdot j}=\sum_{i}p_{ij}.

事件 $\{X=x_i\}$ 可以按 $Y$ 的取值拆成互不相容的事件 $\{X=x_i,Y=y_j\}$ 的并，概率相加得

P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij},\qquad P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}=\sum_i p_{ij}.

把联合分布律列成二维表时，行对应 $X$ 、列对应 $Y$ ， $P\{X=x_i\}$ 是整行之和， $P\{Y=y_j\}$ 是整列之和：

$X\backslash Y$	$0$	$1$	$P\{X=x\}$
$0$	$0.2$	$0.3$	$0.5$
$1$	$0.1$	$0.4$	$0.5$
$P\{Y=y\}$	$0.3$	$0.7$	$1$

表中 $P\{X=0\}=0.2+0.3=0.5$ ， $P\{Y=1\}=0.3+0.4=0.7$ ；最右一列与最下一行分别是 $X$ 、 $Y$ 的边缘分布，右下角为 $1$ 。边缘概率是整行或整列的和，不是表中某一格的联合概率。

设 $(X,Y)$ 为连续型随机变量，联合密度为 $f(x,y)$ ，则边缘密度为

f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\mathrm dx.

求谁保留谁，另一个变量积分掉。 公式中的上下限只是形式写法，实际范围由联合密度非零的区域（支持集）决定：固定保留变量后，被积掉的变量只能取支持集截出的那一段。支持集不是矩形时，积分限会依赖保留变量。

联合分布能唯一确定边缘分布，反过来不成立：边缘分布一般不能唯一确定联合分布。边缘分布只记录每个变量各自取值的概率，没有保留两者之间的依赖关系。

因此，看到两个边缘分布相同，既不能断定联合分布相同，也不能断定两个变量独立。要还原联合分布，还需要条件分布，见条件分布；具体反例见下面的例子。

本课程在二维表上用 $p_{i\cdot}$ 、 $p_{\cdot j}$ 分别记行和与列和，3.3的条件分布和3.4的独立性判定都沿用这两个记号。

边缘分布承接联合分布，并为条件分布提供分母。计算顺序是：由联合分布函数取极限 → 离散型按行、列求和 → 连续型对另一个变量积分。连续型先写出联合密度的非零区域，再确定积分限；后面3.3的条件分布会继续使用这些结果。

联合分布律列成二维表时，行对应 $X$ 、列对应 $Y$ ； $p_{i\cdot}$ 是第 $i$ 行之和， $p_{\cdot j}$ 是第 $j$ 列之和。
边缘分布函数写作 $F_X(x)=F(x,+\infty)$ ，其中 $+\infty$ 表示 $y\to+\infty$ 时的极限。
离散概率沿用教材的花括号写法 $P\{X=x_i\}$ ，条件概率的竖线右侧写已知条件。
连续型的结果要分段写出：在支持集上给表达式，在其他位置补 $0$ 。

复习时按“写支持集 → 定积分限 → 求和或积分 → 三项检查”的顺序走一遍。边缘分布相同不代表联合分布相同，这一条在做独立性判断时还会再用到。