1.3条件概率

设 $A$ 与 $B$ 是样本空间 $\Omega$ 中的事件，且 $P(B)>0$。在已知 $B$ 发生的条件下，$A$ 发生的条件概率定义为

其中 $AB$ 表示交事件 $A\cap B$。

条件概率把参照范围从 $\Omega$ 缩小到 $B$：与 $B$ 不相交的部分不再参与计算，$B$ 内的样本点按 $P(B)$ 重新归一化。因此条件概率仍是概率，只是样本空间换成了 $B$，它满足的公理与运算规律见概率公理。

定义要求 $P(B)>0$。$P(B)=0$ 时分式没有意义，不能直接对零概率事件取条件。

$P(AB)$ 与 $P(A\mid B)$ 不是同一个量：前者是 $A$ 与 $B$ 同时发生的概率，后者是已知 $B$ 发生后 $A$ 发生的概率。两者的联系由乘法公式给出。同样，$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般也不相等：它们分别以 $B$ 和 $A$ 为参照范围。

若事件 $B_1,B_2,\ldots,B_n$ 两两互斥，并且 $\bigcup_{i=1}^{n}B_i=\Omega$，则称它们构成一个完备事件组。当各 $B_i$ 非空时，它们也构成样本空间的一个划分。样本空间与事件的记号见随机事件。

在使用 $P(A\mid B_i)$ 的公式时，还必须要求 $P(B_i)>0$；非空事件的概率不一定为正。这里单独说明这一附加条件，避免把集合划分与概率条件混为一谈。

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是完备事件组，且 $P(B_i)>0$。对任意事件 $A$，

每一项是交事件 $AB_i$ 的概率；这些交事件互斥且合起来是 $A$，因此可以相加。公式从不同来源的比例和各来源内的发生率求总概率。若某个来源概率为零，其交事件概率也为零，可以去掉该项；不能在分母为零时直接使用条件概率。

设 $B_1,\ldots,B_n$ 是完备事件组，且 $P(B_i)>0$，$A$ 为满足 $P(A)>0$ 的事件，则对每个 $j=1,\ldots,n$，

分子是交事件的概率 $P(AB_j)$，分母是 $P(A)$ 的全概率展开。因此公式就是把

写成只用各来源概率和来源内条件概率表示的形式。