9.1单因素方差分析

设有 $k$ 个总体，分别对应因素的 $k$ 个水平。从第 $i$ 个总体抽取 $n_i$ 个观测，单因素固定效应模型写作

其中 $\mu_i$ 是第 $i$ 组的总体均值，$\varepsilon_{ij}$ 是随机误差。总样本量 $N=\sum_{i=1}^kn_i$，并要求 $k\ge2$、$N>k$。

经典精确 $F$ 检验要求：

• 各组误差相互独立；
• $\varepsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)$，即各组都服从正态分布；
• 各组方差相等，共用同一个 $\sigma^2$。

要检验的假设是

也可以把组均值写成

其中 $\mu$ 是加权总均值，$\alpha_i$ 是第 $i$ 组的效应，原假设等价于所有 $\alpha_i=0$。后文记组均值和总均值分别为

总平方和、组间平方和与组内平方和分别定义为

三者满足平方和分解

实际计算可用

若已经算出各组样本方差 $S_i^2$，则

各组样本量不等时，总均值要按 $n_i$ 加权，不能把组均值简单平均。自由度也同样分解：

把平方和除以对应自由度得到均方，列成方差分析表：

在 $H_0$ 下，

若

则拒绝各组均值相等。$F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$ 是上 $\alpha$ 分位点，记号与上侧分位点一致。

尽管均值差异可正可负，方差分析始终用右尾：差异被平方后反映为组间均方增大，$F$ 过大才说明组间变异相对组内误差过大。

$MS_E=S_E/(N-k)$ 是共同误差方差 $\sigma^2$ 的无偏估计；$S_E/N$ 不是。$F$ 接近 $1$ 表示组间均方与组内均方相近；是否拒绝原假设仍要结合自由度与显著性水平判断。

• 多次做两样本 $t$ 检验可能使整体误拒绝风险增加，不能替代整体 $F$ 检验。
• 方差分析的目标是比较均值，名称来自用方差比检验均值差异。
• $MS_E$ 是共同误差方差 $\sigma^2$ 的无偏估计，不是 $S_E/N$。
• 残差图可辅助检查方差不齐与异常值；独立性还依赖试验设计，不能只凭正态概率图判断。
• 两组时，经典等方差单因素 $F$ 检验与合并方差双侧 $t$ 检验满足 $F=T^2$。