课程笔记

3.5二维随机变量函数的分布

7 分钟阅读

阅读入口

设 $(X,Y)$ 是二维联合分布函数， $g$ 是二元函数， $Z=g(X,Y)$ 。 $Z$ 的分布函数为

F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{g(X,Y)\le z\},\qquad z\in\mathbb R.

先求 $F_Z$ 、再在可导处求导得到密度 $f_Z$ ，这一方法称为分布函数法。按 $(X,Y)$ 的类型，具体计算分两种：

离散型：设 $p_{ij}=P\{X=x_i,\ Y=y_j\}$ ，则对满足条件的格子求和： $F_Z(z)=\sum_{g(x_i,y_j)\le z}p_{ij}.$
连续型：设联合密度为 $f(x,y)$ （即对任意平面区域 $D$ ， $P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy$ ），则 $F_Z(z)=\iint_{D_z}f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy,\qquad D_z=\{(x,y):g(x,y)\le z\},$ 积分区域取 $D_z$ 与联合密度支持集的交集。

连续型求出 $F_Z$ 后，在 $F_Z$ 可导的区间内求导即可，分段点单独讨论。先确定 $g(X,Y)$ 的取值范围，再写区域，能减少漏掉分段。

本节所有公式都要求先在支持集内定出 $g(X,Y)\le z$ 的区域；遇到复杂情形时直接回到定义重算。

对一般的连续型 $(X,Y)$ ，不要求独立，由分布函数法

F_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)\,\mathrm dy\right)\mathrm dx,

对 $z$ 求导得

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,\mathrm dx.

若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $f(x,z-x)=f_X(x)f_Y(z-x)$ ，上式成为卷积公式

f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx.

离散型独立、取整数值时，相应地

P\{X+Y=k\}=\sum_i P\{X=i\}P\{Y=k-i\}.

设 $X$ 与 $Y$ 独立， $M=\max(X,Y)$ ， $m=\min(X,Y)$ 。“最大值不超过 $z$ ”等价于两个变量都不超过 $z$ ，所以

F_M(z)=P\{X\le z,\ Y\le z\}=F_X(z)F_Y(z).

“最小值大于 $z$ ”等价于两个变量都大于 $z$ ，所以

F_m(z)=1-P\{X>z,\ Y>z\}=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].

对 $n$ 个独立同分布的连续型变量 $X_1,\dots,X_n$ ，记 $M=\max(X_1,\dots,X_n)$ 、 $m=\min(X_1,\dots,X_n)$ ，公共分布函数为 $F$ 、密度为 $f$ ，则

F_M(z)=F(z)^n,\qquad F_m(z)=1-[1-F(z)]^n,

求导得

f_M(z)=nF(z)^{n-1}f(z),\qquad f_m(z)=n[1-F(z)]^{n-1}f(z).

在存在联合密度的情形，设 $f$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度。

积：令 $U=X$ 、 $V=XY$ ，反变换为 $x=u$ 、 $y=v/u$ ，雅可比绝对值为 $1/|u|$ ，于是

f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm dx,

在 $x\ne 0$ 处使用。商：令 $U=Y$ 、 $V=X/Y$ ，反变换为 $x=uv$ 、 $y=u$ ，雅可比绝对值为 $|u|$ ，于是

f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|f(zy,y)\,\mathrm dy.

有联合密度时 $P\{X=0\}=P\{Y=0\}=0$ ，排除这两个单点不影响积分；但两式的积分范围仍受支持集约束，不能直接取全体实数。

设 $(U,V)=T(X,Y)$ 是可逆的连续可微变换，反变换为 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ 。则 $(U,V)$ 的联合密度为

f_{U,V}(u,v)=f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|.

使用这个公式要做三件事：

只求一个函数 $Z=g(X,Y)$ 的分布时，先补一个辅助变量（例如取 $U=X$ 或 $U=Y$ ）使变换可逆，求出 $(U,Z)$ 或 $(Z,V)$ 的联合密度，再对辅助变量积分消去它。上面的积、商公式都是这种做法。

卷积与最值公式都要把密度相乘，这一步只在独立时成立；商与积的公式不要求独立，但积分限同样受支持集约束。

教材把分布函数法放在最前面，其余公式都是它在具体函数上的特化：和对应区域 $x+y\le z$ ，最大值、最小值对应交事件，商与积靠辅助变量化为可逆变换。建议按“分布函数法 → 和的卷积 → 最值 → 商、积与变换”的顺序阅读，每学一个公式都回到分布函数法核对区域和积分限。

卷积只处理独立变量之和；不独立时要退回联合密度。最大值与最小值要分清“不超过”和“大于”两种事件写法，否则容易把两个分布函数公式记反。

记 $Z=g(X,Y)$ ，分布函数与密度分别记作 $F_Z$ 、 $f_Z$ ；和、积、商分别用 $f_{X+Y}$ 、 $f_{XY}$ 、 $f_{X/Y}$ 表示。
积分元写作 $\mathrm dx$ 、 $\mathrm dy$ ；二维变换的雅可比记作 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ，使用反变换并取绝对值。
“卷积”专指独立变量之和的密度公式；对相关变量只写一般公式。